Matematyka — matura 2025

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $(\sqrt{32}-\sqrt{2})^2$ jest równa

$16$

$18$

$30$

$34$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie pierwiastka

Wyłączamy czynnik 16 spod pierwiastka, aby odjąć podobne wyrażenia.

\[\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt2\]

2 Obliczenie kwadratu

Odejmujemy współczynniki przy pierwiastku i podnosimy wynik do kwadratu.

\[(\sqrt{32}-\sqrt2)^2=(4\sqrt2-\sqrt2)^2=(3\sqrt2)^2=9\cdot2=18\]

Odpowiedź

Wynik to 18, odpowiedź B.

\[18\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu kwadratu otrzymujemy również 18.

\[(\sqrt{32}-\sqrt2)^2=32-2\sqrt{64}+2=32-16+2=18\]

Zadanie 2

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}$ jest równa

$30$

$31$

$5^{12}$

$5^{27}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Każdy składnik licznika jest wielokrotnością $5^{12}$, więc można wyłączyć tę potęgę przed skróceniem ułamka.

\[\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}=\frac{5^{12}(1+5+5^2)}{5^{12}}=1+5+25=31\]

Odpowiedź

Liczba jest równa 31. Odpowiedź B.

\[31\]

Sprawdzenie

Po pomnożeniu wyniku przez mianownik otrzymujemy pierwotny licznik.

\[31\cdot 5^{12}=(1+5+25)5^{12}=5^{12}+5^{13}+5^{14}\]

Zadanie 3

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

78%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\log_3 108-2\log_3 2$ jest równa

$3$

$9$

$\log_3 104$

$2\log_3 54$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz logarytmy

Korzystamy z reguł: współczynnik przed logarytmem jest wykładnikiem jego argumentu, a różnica logarytmów jest logarytmem ilorazu.

\[\log_3 108-2\log_3 2=\log_3 108-\log_3 2^2=\log_3\frac{108}{4}\]

2 Oblicz wartość

Iloraz wynosi 27, czyli trzecią potęgę 3.

\[\log_3\frac{108}{4}=\log_3 27=\log_3 3^3=3\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: 3.

\[3\]

Sprawdzenie

Ponieważ 2 logarytm przy podstawie 3 ma argumenty dodatnie, przekształcenia są poprawne. Otrzymane 3 jest właściwe, bo 3 do potęgi 3 daje 27, a 108 podzielone przez 4 daje 27.

\[3^3=27=\frac{108}{2^2}\]

Zadanie 4

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

72%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenia $(3x+2)^2-(2x-3)^2$ jest równa wartości wyrażenia

$5x^2-5$

$5x^2+13$

$5x^2+24x-5$

$5x^2+24x-13$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiń kwadraty

Korzystamy ze wzorów na kwadrat sumy i różnicy, aby porównać wyrażenie z odpowiedziami.

\[(3x+2)^2-(2x-3)^2=(9x^2+12x+4)-(4x^2-12x+9)\]

2 Zredukuj wyrazy podobne

Po opuszczeniu nawiasu odejmujemy odpowiadające sobie wyrazy.

\[9x^2+12x+4-4x^2+12x-9=5x^2+24x-5\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C.

\[5x^2+24x-5\]

Sprawdzenie

Kontrola wzorem na różnicę kwadratów daje ten sam wynik dla każdego rzeczywistego x.

\[(3x+2)^2-(2x-3)^2=(x+5)(5x-1)=5x^2+24x-5\]

Zadanie 5

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

32%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $3n^2+2n+7$ jest podzielna przez $4$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapis liczby nieparzystej

Każdą nieparzystą liczbę naturalną można zapisać w tej postaci dla pewnej liczby całkowitej nieujemnej $k$.

\[n=2k+1\]

2 Wyłączenie czynnika 4

Podstawiamy tę postać do wyrażenia i wyłączamy wspólny czynnik.

\[3n^2+2n+7=3(2k+1)^2+2(2k+1)+7=12k^2+16k+12=4(3k^2+4k+3)\]

Odpowiedź

Dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ wyrażenie $3n^2+2n+7$ jest podzielne przez $4$, ponieważ $3k^2+4k+3$ jest liczbą całkowitą.

\[4\mid(3n^2+2n+7)\]

Sprawdzenie

Niezależnie, dla nieparzystego $n$ mamy $n^2\equiv1\pmod 4$ oraz $2n\equiv2\pmod 4$. Suma reszt wynosi $3+2+3=8$, czyli jest podzielna przez $4$.

\[3n^2+2n+7\equiv3\cdot1+2+3\equiv0\pmod 4\]

Zadanie 6

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

73%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dana jest nierówność

$3-2(1-2x)\geq 2x-17$

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Oś liczbowa z zamalowanym punktem 3 i zaznaczonym obszarem na lewo od niego; oznaczenia 0, 1, 3 oraz x.

Oś liczbowa z zamalowanym punktem 3 i zaznaczonym obszarem na prawo od niego; oznaczenia 0, 1, 3 oraz x.

Oś liczbowa z zamalowanym punktem −9 i zaznaczonym obszarem na lewo od niego; oznaczenia −9, 0, 1 oraz x.

Oś liczbowa z zamalowanym punktem −9 i zaznaczonym obszarem na prawo od niego; oznaczenia −9, 0, 1 oraz x.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie nierówności

Usuwamy nawias i redukujemy wyrazy podobne.

\[3-2(1-2x)\geq 2x-17\iff 1+4x\geq 2x-17\]

2 Wyznaczenie x

Przenosimy wyrazy z x na jedną stronę, a liczby na drugą. Dzielenie przez dodatnie 2 nie zmienia zwrotu nierówności.

\[1+4x\geq 2x-17\iff 2x\geq -18\iff x\geq -9\]

3 Wybór rysunku

Do zbioru rozwiązań należy −9 oraz wszystkie liczby większe od −9, co przedstawia rysunek D.

\[x\in[-9,\infty)\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: wszystkie liczby rzeczywiste większe lub równe −9.

\[x\in[-9,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla granicznej wartości x = −9 obie strony początkowej nierówności są równe −35, więc zamalowany punkt należy do zbioru rozwiązań.

\[3-2(1-2(-9))=-35=2(-9)-17\]

Zadanie 7

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie $2x(x+3)(x^2+25)=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

dwa rozwiązania: $(-3)$ oraz $0$.

dwa rozwiązania: $(-3)$ oraz $2$.

trzy rozwiązania: $(-5)$, $(-3)$ oraz $0$.

cztery rozwiązania: $(-5)$, $(-3)$, $0$ oraz $5$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru. Stała 2 nie jest zerem.

\[2x(x+3)(x^2+25)=0\iff x=0\ \lor\ x+3=0\ \lor\ x^2+25=0\]

2 Wyznaczenie rozwiązań rzeczywistych

Dwa pierwsze równania dają 0 i −3. Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, trzeci czynnik nie może być zerem.

\[x=0\quad\lor\quad x=-3,\qquad x^2+25\ge 25>0\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: −3 oraz 0. Odpowiedź A.

\[\boxed{x\in\{-3,0\}\quad\text{— A}}\]

Sprawdzenie

Dla x = 0 zeruje się czynnik x, a dla x = −3 czynnik x + 3. Dla każdej liczby rzeczywistej czynnik x² + 25 jest dodatni, więc innych rozwiązań nie ma.

\[2\cdot 0\cdot(0+3)(0^2+25)=0,\qquad 2\cdot(-3)\cdot(-3+3)((-3)^2+25)=0\]

Zadanie 8

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $(-2)$ oraz różnej od $0$ wartość wyrażenia $\frac{x^2+x}{x^2+4x+4}\cdot\frac{x+2}{x}$ jest równa wartości wyrażenia

$\frac{x+2}{4x+4}$

$\frac{x+1}{4x+5}$

$\frac{x+1}{x+2}$

$\frac{2x}{x+2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż na czynniki

Rozkład licznika i mianownika pozwala wskazać wspólne czynniki.

\[\frac{x^2+x}{x^2+4x+4}\cdot\frac{x+2}{x}=\frac{x(x+1)}{(x+2)^2}\cdot\frac{x+2}{x}\]

2 Skróć ułamki

Ponieważ x≠0 i x≠−2, można skrócić czynniki x oraz x+2.

\[\frac{x(x+1)(x+2)}{x(x+2)^2}=\frac{x+1}{x+2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\frac{x+1}{x+2}\]

Sprawdzenie

Dla dozwolonej wartości x=1 wyrażenie początkowe i otrzymany ułamek mają wartość 2/3. Skracanie jest poprawne w całej podanej dziedzinie, a mianownik otrzymanego ułamka jest w niej różny od zera.

\[\frac{1^2+1}{1^2+4\cdot1+4}\cdot\frac{1+2}{1}=\frac{2}{3}=\frac{1+1}{1+2}\]

Zadanie 9

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Układy równań

30%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę 1 200 000 złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie 146 700 złotych – zespół A wykorzystał 13% przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał 11% przyznanych mu środków.

Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie kwot

Oznaczamy kwotę dla zespołu A przez x. Ponieważ oba zespoły otrzymały łącznie 1 200 000 zł, zespół B otrzymał pozostałą kwotę.

\[A=x,\qquad B=1\,200\,000-x\]

2 Ułożenie równania

Suma wydatków zespołów, czyli odpowiednio 13% i 11% przyznanych kwot, wyniosła 146 700 zł.

\[0{,}13x+0{,}11(1\,200\,000-x)=146\,700\]

3 Rozwiązanie równania

Rozwijamy nawias i dzielimy przez 0,02, aby wyznaczyć kwotę dla zespołu A.

\[0{,}02x+132\,000=146\,700\quad\Rightarrow\quad 0{,}02x=14\,700\quad\Rightarrow\quad x=735\,000\]

Odpowiedź

Zespołowi A przyznano 735 000 zł.

\[735\,000\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Zespół B otrzymał 465 000 zł. Wydatki obu zespołów wyniosły łącznie 146 700 zł, zgodnie z treścią zadania.

\[0{,}13\cdot735\,000+0{,}11\cdot465\,000=95\,550+51\,150=146\,700\]

Zadanie 10

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

68%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż nierówność $3(2x^2+1)<11x$.

Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Sprowadzamy nierówność do postaci kwadratowej, aby wyznaczyć miejsca zerowe trójmianu.

\[3(2x^2+1)<11x\iff 6x^2-11x+3<0\]

2 Oblicz miejsca zerowe

Obliczamy wyróżnik i pierwiastki trójmianu.

\[\Delta=(-11)^2-4\cdot6\cdot3=49,\qquad x_1=\frac{11-7}{12}=\frac13,\qquad x_2=\frac{11+7}{12}=\frac32\]

3 Wyznacz przedział

Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc trójmian jest ujemny między miejscami zerowymi.

\[6x^2-11x+3<0\iff \frac13<x<\frac32\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest przedział $\left(\frac13,\frac32\right)$.

\[x\in\left(\frac13,\frac32\right)\]

Sprawdzenie

Po rozłożeniu trójmianu na czynniki widać, że między pierwiastkami jeden czynnik jest dodatni, a drugi ujemny. Na końcach przedziału iloczyn wynosi zero, więc końce są wykluczone.

\[6x^2-11x+3=(3x-1)(2x-3)<0\quad\text{dla}\quad\frac13<x<\frac32\]

Zadanie 11.1

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

67%średni wynik CKE · całe zadanie

Średni procent zdobytych punktów. Dotyczy całego zadania 11, nie tylko tego podpunktu. Raport CKE ↗

Funkcja $f$ jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}x+5 & \text{dla } x\in[-4,-2],\\3 & \text{dla } x\in(-2,2],\\-3x+9 & \text{dla } x\in(2,4).\end{cases}\]

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział …………………… .

Wykres funkcji y=f(x) w kartezjańskim układzie współrzędnych, z osiami, grotami, oznaczeniami i etykietą.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz przedziały

Dziedzina obejmuje wszystkie wartości x wymienione w definicji funkcji. Przedziały stykają się w punktach −2 i 2, które należą do dziedziny.

\[[-4,-2]\cup(-2,2]\cup(2,4)=[-4,4)\]

Odpowiedź

1. Dziedziną funkcji f jest przedział [−4,4).

\[D_f=[-4,4)\]

Sprawdzenie

Liczba −4 należy do pierwszego przedziału, a 4 nie należy do żadnego. Punkty −2 i 2 są uwzględnione, więc w dziedzinie nie ma przerw.

\[-4\in D_f,\quad -2\in D_f,\quad 2\in D_f,\quad 4\notin D_f\]

Zadanie 11.2

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

67%średni wynik CKE · całe zadanie

Średni procent zdobytych punktów. Dotyczy całego zadania 11, nie tylko tego podpunktu. Raport CKE ↗

Funkcja $f$ jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}x+5 & \text{dla }x\in[-4,-2]\\3 & \text{dla }x\in(-2,2]\\-3x+9 & \text{dla }x\in(2,4)\end{cases}\]

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział …………………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z zaznaczonymi osiami, podziałką oraz końcami wykresu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wartości na poszczególnych przedziałach

Każdy wzór jest liniowy, więc o jego wartościach decydują wartości na końcach podanego przedziału oraz to, czy końce do niego należą.

\[x\in[-4,-2]\Rightarrow f(x)\in[1,3],\qquad x\in(-2,2]\Rightarrow f(x)=3,\qquad x\in(2,4)\Rightarrow f(x)\in(-3,3).\]

2 Połączenie otrzymanych zbiorów

Łączymy wartości przyjmowane przez wszystkie części funkcji.

\[[1,3]\cup\{3\}\cup(-3,3)=(-3,3].\]

Odpowiedź

Zbiorem wartości funkcji jest przedział $(-3,3]$.

\[W_f=(-3,3]\]

Sprawdzenie

Wartość $3$ jest przyjmowana, na przykład dla $x=-2$. Wartość $-3$ wymagałaby $x=4$, który nie należy do dziedziny. Każda wartość pomiędzy $-3$ a $3$ jest przyjmowana na odcinku, gdzie $f(x)=-3x+9$.

\[f(-2)=3,\qquad -3\cdot4+9=-3,\quad 4\notin(2,4)\]

Zadanie 11.3

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

67%średni wynik CKE · całe zadanie

Średni procent zdobytych punktów. Dotyczy całego zadania 11, nie tylko tego podpunktu. Raport CKE ↗

Funkcja $f$ jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}x+5 & \text{dla } x\in[-4,-2]\\3 & \text{dla } x\in(-2,2]\\-3x+9 & \text{dla } x\in(2,4)\end{cases}\]

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział …………………… .

Wykres funkcji y = f(x) w układzie współrzędnych, z osiami, grotami, podziałką i oznaczeniami punktów końcowych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie wartości na kolejnych częściach dziedziny

Szukamy argumentów, dla których $f(x)>0$. Na dwóch pierwszych przedziałach wartości funkcji są dodatnie, a na trzecim rozwiązujemy nierówność.

\[\begin{aligned}x\in[-4,-2]&:\quad f(x)=x+5\ge 1>0,\\x\in(-2,2]&:\quad f(x)=3>0,\\x\in(2,4)&:\quad -3x+9>0\iff x<3,\text{ więc }x\in(2,3).\end{aligned}\]

2 Połączenie przedziałów

Łączymy wszystkie otrzymane przedziały argumentów.

\[[-4,-2]\cup(-2,2]\cup(2,3)=[-4,3)\]

Odpowiedź

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału $[-4,3)$.

\[[-4,3)\]

Sprawdzenie

Lewy koniec należy do zbioru, bo $f(-4)=1>0$. Prawy koniec nie należy, bo $f(3)=0$; dla $3<x<4$ wartości funkcji są ujemne.

\[f(-4)=1>0,\qquad f(3)=0,\qquad -3x+9<0\ \text{dla }3<x<4\]

Zadanie 11.4

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

67%średni wynik CKE · całe zadanie

Średni procent zdobytych punktów. Dotyczy całego zadania 11, nie tylko tego podpunktu. Raport CKE ↗

Funkcja $f$ jest określona następująco: \[f(x)=\begin{cases}x+5 & \text{dla }x\in[-4,-2],\\3 & \text{dla }x\in(-2,2],\\-3x+9 & \text{dla }x\in(2,4).\end{cases}\]

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x)=3$ jest przedział …………………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie pierwszego przedziału

Na przedziale $[-4,-2]$ rozwiązujemy równanie wynikające ze wzoru funkcji.

\[x+5=3\iff x=-2\]

2 Sprawdzenie pozostałych przedziałów

Funkcja ma wartość $3$ dla każdego $x\in(-2,2]$. Z ostatniego wzoru otrzymujemy $x=2$, ale ta część funkcji obowiązuje tylko dla $x\in(2,4)$.

\[-3x+9=3\iff x=2\notin(2,4)\]

3 Połączenie rozwiązań

Do przedziału $(-2,2]$ dołączamy punkt $-2$ uzyskany z pierwszego wzoru.

\[\{-2\}\cup(-2,2]=[-2,2]\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział $[-2,2]$.

\[[-2,2]\]

Sprawdzenie

Dla $x=-2$ i $x=2$ wartość funkcji wynosi $3$, a dla każdego punktu między nimi funkcja jest stale równa $3$. Poza tym przedziałem żaden z obowiązujących wzorów nie daje wartości $3$.

\[f(-2)=-2+5=3,\qquad f(2)=3\]

Zadanie 12.1

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne $(3,6)$. Ta parabola przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych $(0,3)$.

Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

$Fragment wykresu funkcji kwadratowej w układzie współrzędnych, z osiami, podziałką i oznaczeniem $y=f(x)$.$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie postaci kanonicznej

Współrzędne wierzchołka $(3,6)$ wyznaczają postać kanoniczną funkcji; pozostaje obliczyć współczynnik $a$.

\[f(x)=a(x-3)^2+6\]

2 Wyznaczenie współczynnika

Punkt $(0,3)$ należy do paraboli, więc podstawiamy jego współrzędne do wzoru.

\[3=a(0-3)^2+6=9a+6\quad\Rightarrow\quad 9a=-3\quad\Rightarrow\quad a=-\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Wzór funkcji w postaci kanonicznej:

\[f(x)=-\frac{1}{3}(x-3)^2+6\]

Sprawdzenie

Dla $x=0$ otrzymujemy $f(0)=3$, a dla $x=3$ otrzymujemy $f(3)=6$. Współczynnik przy kwadracie jest ujemny, więc wierzchołek jest maksimum, zgodnie z rysunkiem.

\[f(0)=-\frac{1}{3}\cdot 9+6=3,\qquad f(3)=-\frac{1}{3}\cdot 0+6=6\]

Zadanie 12.2

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

84%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu

$Fragment wykresu paraboli w układzie współrzędnych z oznaczonymi osiami, podziałką i napisem $y=f(x)$.$

$x=3$

$x=-3$

$y=6$

$y=-6$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie osi symetrii

Oś symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej jest pionową prostą przechodzącą przez jej wierzchołek. Współrzędna x wierzchołka wynosi 3.

\[(x_w,y_w)=(3,6)\quad\Longrightarrow\quad x=x_w=3\]

Odpowiedź

Oś symetrii ma równanie x=3. Odpowiedź A.

\[x=3\]

Sprawdzenie

Prosta x=3 przechodzi przez wierzchołek (3,6) i jest pionowa, więc spełnia warunek osi symetrii wykresu funkcji kwadratowej.

\[(3,6)\in\{(x,y):x=3\}\]

Zadanie 12.3

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

47%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

$Fragment wykresu paraboli $y=f(x)$ w układzie współrzędnych$

Funkcja $g$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $g(x)=f(x)-3$. Liczby $x_1$ oraz $x_2$ są różnymi miejscami zerowymi funkcji $g$.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Suma $x_1+x_2$ jest równa ……… .

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pierwsze miejsce zerowe

Miejsca zerowe funkcji g spełniają warunek f(x)=3. Ponieważ parabola przecina oś Oy w punkcie (0,3), jednym z nich jest 0.

\[g(0)=f(0)-3=3-3=0,\quad x_1=0\]

2 Drugie miejsce zerowe

Oś symetrii paraboli przechodzi przez wierzchołek i ma równanie x=3. Punkty wykresu o tej samej wartości y leżą w równej odległości od tej osi, więc drugim miejscem zerowym jest 6.

\[\frac{x_1+x_2}{2}=3\quad\Longrightarrow\quad x_2=6\]

Odpowiedź

Suma miejsc zerowych jest równa 6.

\[x_1+x_2=0+6=6\]

Sprawdzenie

Liczby 0 i 6 są różne, a ich średnia wynosi 3, czyli leżą symetrycznie względem osi paraboli. Ponieważ f(0)=3, symetria daje także f(6)=3; obie liczby są więc miejscami zerowymi g.

\[g(0)=g(6)=0,\qquad \frac{0+6}{2}=3\]

Zadanie 13

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

72%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=(3-m)x-4$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $f$ nie ma miejsca zerowego dla $m$ równego

$-3$

$0$

$3$

$4$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek braku miejsca zerowego

Funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego, gdy współczynnik przy x jest równy zero, a wyraz wolny jest różny od zera. Tutaj wyraz wolny wynosi −4.

\[3-m=0\]

2 Obliczenie parametru

Rozwiązujemy równanie określające wartość m.

\[3-m=0\quad\Longrightarrow\quad m=3\]

Odpowiedź

C. Funkcja nie ma miejsca zerowego dla m = 3.

\[m=3\]

Sprawdzenie

Dla m = 3 funkcja przyjmuje stałą wartość −4, więc dla żadnego x nie jest równa zeru.

\[f(x)=(3-3)x-4=-4\ne 0\]

Zadanie 14.1

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

75%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco:

$\begin{cases}a_1=2\\a_{n+1}=2a_n+1\end{cases}$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzeci wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

$4$

$5$

$7$

$11$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie drugiego wyrazu

Podstawiamy n=1 do wzoru rekurencyjnego, ponieważ znamy pierwszy wyraz.

\[a_2=2a_1+1=2\cdot 2+1=5\]

2 Obliczenie trzeciego wyrazu

Stosujemy ten sam wzór dla n=2.

\[a_3=2a_2+1=2\cdot 5+1=11\]

Odpowiedź

Trzeci wyraz jest równy 11. Odpowiedź D.

\[a_3=11\]

Sprawdzenie

Dla a₂=5 wzór rekurencyjny daje a₃=11, zgodnie z wybraną odpowiedzią.

\[2a_2+1=2\cdot 5+1=11\]

Zadanie 14.2

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

47%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco: \[\begin{cases}a_1=2\\a_{n+1}=2a_n+1\end{cases}\quad\text{dla każdej liczby naturalnej }n\geq 1.\]

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny.	P	F
Ciąg $(a_n)$ jest geometryczny.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie początkowych wyrazów

Do oceny obu stwierdzeń wystarczą trzy pierwsze wyrazy ciągu. Korzystamy z podanego wzoru rekurencyjnego.

\[a_1=2,\quad a_2=2\cdot2+1=5,\quad a_3=2\cdot5+1=11\]

2 Sprawdzenie arytmetyczności

W ciągu arytmetycznym różnice kolejnych wyrazów są równe. Tutaj otrzymujemy różne różnice.

\[a_2-a_1=5-2=3,\qquad a_3-a_2=11-5=6,\qquad 3\ne6\]

3 Sprawdzenie geometryczności

W ciągu geometrycznym ilorazy kolejnych wyrazów są równe. Wyznaczone wyrazy są niezerowe, więc możemy obliczyć ilorazy.

\[\frac{a_2}{a_1}=\frac52,\qquad \frac{a_3}{a_2}=\frac{11}{5},\qquad \frac52\ne\frac{11}{5}\]

Odpowiedź

Ciąg arytmetyczny — F. Ciąg geometryczny — F.

\[\text{arytmetyczny: F, geometryczny: F}\]

Sprawdzenie

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego środkowy jest średnią sąsiednich, a dla geometrycznego jego kwadrat jest iloczynem sąsiednich. Żaden z tych warunków nie zachodzi.

\[2a_2=10\ne13=a_1+a_3,\qquad a_2^2=25\ne22=a_1a_3\]

Zadanie 15

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

49%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wyznacz wartość $m$, dla której trzywyrazowy ciąg $(2m+11,\ m^2+3,\ 5-m)$ jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek arytmetyczności

W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią skrajnych. Podstawiamy podane wyrazy i rozwiązujemy równanie.

\[2(m^2+3)=(2m+11)+(5-m)\iff 2m^2-m-10=0\iff (2m-5)(m+2)=0\iff m=\frac52\ \text{lub}\ m=-2\]

2 Warunek malejącego ciągu

Sprawdzamy oba rozwiązania, ponieważ ciąg stały jest arytmetyczny, ale nie jest malejący.

\[m=-2:\ (7,7,7);\qquad m=\frac52:\ \left(16,\frac{37}{4},\frac52\right),\quad 16>\frac{37}{4}>\frac52\]

Odpowiedź

Szukana wartość to m = 5/2.

\[m=\frac52\]

Sprawdzenie

Dla m = 5/2 kolejne różnice są równe i ujemne: obie wynoszą −27/4. Ciąg jest więc arytmetyczny i malejący.

\[\frac{37}{4}-16=\frac52-\frac{37}{4}=-\frac{27}{4}<0\]

Zadanie 16

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

78%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$, w którym $a_1=27$ oraz $a_2=9$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Czwarty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

$\frac{1}{3}$

$1$

$3$

$729$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały, więc dzielimy drugi wyraz przez pierwszy.

\[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\]

2 Obliczenie czwartego wyrazu

Każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez iloraz.

\[a_4=a_2q^2=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2=1\]

Odpowiedź

Czwarty wyraz jest równy 1. Odpowiedź B.

\[a_4=1\]

Sprawdzenie

Po drugim wyrazie otrzymujemy kolejno 3 i 1; w obu przypadkach iloraz kolejnych wyrazów wynosi jedną trzecią.

\[\frac{3}{9}=\frac{1}{3},\qquad\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\]

Zadanie 17

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha=2\sin\alpha$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta $\alpha$ jest równy

$\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz tangens przez sinus i cosinus

Dla kąta ostrego cosinus jest dodatni, więc można użyć wzoru na tangens.

\[\sqrt{3}\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\sin\alpha\]

2 Wyznacz cosinus

Kąt jest ostry, zatem sinus jest dodatni. Dzielimy obie strony przez $\sin\alpha$ i przekształcamy równanie.

\[\frac{\sqrt{3}}{\cos\alpha}=2\quad\Longrightarrow\quad\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Sprawdzenie

Dla kąta ostrego o takim cosinusie sinus wynosi $\frac{1}{2}$, a tangens $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Obie strony warunku są równe $1$.

\[\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=1=2\cdot\frac{1}{2}=2\sin\alpha\]

Zadanie 18.1

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

81%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $BC$ jest przeciwprostokątną, przyprostokątna $AB$ ma długość $6$, a środkowa $CD$ ma długość $5$. Oznaczmy kąt $ADC$ przez $\alpha$, natomiast kąt $ABC$ – przez $\beta$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

Trójkąt prostokątny ABC z punktem D na boku AB, odcinkiem CD oraz oznaczeniami kątów alfa przy D i beta przy B. Na rysunku podano długości CD równe 5 i AB równe 6.

$\frac{2}{3}$

$\frac{3}{4}$

$\frac{4}{5}$

$\frac{4}{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie długości AD

Ponieważ CD jest środkową trójkąta ABC, punkt D jest środkiem boku AB.

\[AD=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\]

2 Obliczenie przyprostokątnej AC

Trójkąt ACD jest prostokątny w A, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[AC^2=CD^2-AD^2=5^2-3^2=16,\quad AC=4\]

3 Obliczenie tangensa

W trójkącie ACD bok AC leży naprzeciw kąta α, a AD jest przy nim.

\[\tan\alpha=\frac{AC}{AD}=\frac{4}{3}\]

Odpowiedź

Tangens kąta α wynosi 4/3. Odpowiedź D.

\[\tan\alpha=\frac{4}{3}\]

Sprawdzenie

Długości 3, 4 i 5 spełniają twierdzenie Pitagorasa, a AD + DB = 3 + 3 = 6, zgodnie z danymi.

\[3^2+4^2=5^2,\qquad 3+3=6\]

Zadanie 18.2

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

59%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta $\beta$ jest równy

Rysunek trójkąta prostokątnego ABC z punktem D na boku AB, odcinkiem CD, oznaczeniami kątów α i β oraz długościami 5 i 6.

$\frac{2}{\sqrt{13}}$

$\frac{3}{\sqrt{13}}$

$\frac{5}{2\sqrt{13}}$

$\frac{4}{5}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie połowy boku AB

Ponieważ CD jest środkową, punkt D jest środkiem boku AB.

\[AD=DB=\frac{AB}{2}=3\]

2 Obliczenie przyprostokątnej AC

Trójkąt ACD jest prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[AC^2=CD^2-AD^2=5^2-3^2=16,\quad AC=4\]

3 Obliczenie sinusa kąta β

W trójkącie ABC bok AC leży naprzeciw kąta β. Obliczamy przeciwprostokątną BC i korzystamy z definicji sinusa.

\[BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13},\quad \sin\beta=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{\sqrt{13}}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\sin\beta=\frac{2}{\sqrt{13}}\]

Sprawdzenie

Otrzymane długości spełniają twierdzenie Pitagorasa w obu trójkątach prostokątnych.

\[3^2+4^2=5^2,\quad 6^2+4^2=(2\sqrt{13})^2\]

Zadanie 19

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

81%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty $A$, $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Miara kąta $BCA$ jest równa $50^\circ$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $ABO$ jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B i C na okręgu. Zaznaczono kąt BCA równy 50° oraz kąt ABO.

$20^\circ$

$35^\circ$

$40^\circ$

$50^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta środkowego

Kąt środkowy AOB oparty na tym samym łuku AB ma miarę dwa razy większą od kąta wpisanego BCA.

\[\angle AOB=2\angle BCA=2\cdot50^\circ=100^\circ\]

2 Wyznaczenie kąta ABO

Promienie OA i OB są równe, więc trójkąt AOB jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie AB mają równe miary.

\[\angle ABO=\frac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ABO ma miarę 40°, więc poprawna odpowiedź to C.

\[\angle ABO=40^\circ\quad\text{(C)}\]

Sprawdzenie

Kąty trójkąta AOB sumują się do 180°, a połowa kąta środkowego 100° daje podany kąt wpisany 50°.

\[40^\circ+40^\circ+100^\circ=180^\circ,\qquad\frac{100^\circ}{2}=50^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są: $|AC|=|BC|=4$ i $|AB|=3$. Na boku $BC$, między punktami $B$ i $C$, wybrano taki punkt $D$, że trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek $BD$ ma długość

Trójkąt ABC z punktem D na boku BC i odcinkiem AD. Bok AC oznaczono liczbą 4, a bok AB liczbą 3.

$2$

$2{,}25$

$2{,}5$

$3$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie odpowiadających boków

W podobnych trójkątach bokowi AC długości 4 odpowiada bok AB długości 3, a bokowi AB długości 3 odpowiada bok BD. Zapisujemy proporcję tych boków.

\[\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{AC}\]

2 Obliczenie długości BD

Podstawiamy dane i mnożymy obie strony przez 3.

\[\frac{BD}{3}=\frac{3}{4}\quad\Longrightarrow\quad BD=\frac{9}{4}=2{,}25\]

Odpowiedź

Odcinek BD ma długość 2,25. Odpowiedź B.

\[BD=2{,}25\]

Sprawdzenie

Skala podobieństwa wynosi 3/4, więc bokowi AB długości 3 odpowiada BD długości 9/4. Ponadto 0 < 9/4 < 4, zatem D leży między B i C.

\[\frac{BD}{AB}=\frac{9/4}{3}=\frac{3}{4}=\frac{AB}{AC},\qquad 0<\frac{9}{4}<4\]

Zadanie 21

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

51%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB|=11$, $|BC|=12$ oraz $|\angle ABC|=60^\circ$ (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Trójkąt $ABC$ jest równoramienny.	P	F
Pole trójkąta $ABC$ jest równe $33\sqrt{3}$.	P	F

Trójkąt ABC: bok AB oznaczony 11, bok BC oznaczony 12, kąt ABC oznaczony 60°.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie trzeciego boku

Znamy dwa boki i kąt między nimi, więc stosujemy twierdzenie cosinusów.

\[|AC|^2=11^2+12^2-2\cdot11\cdot12\cos60^\circ=121+144-132=133,\quad |AC|=\sqrt{133}\]

2 Ocena pierwszego stwierdzenia

Boki o długościach 11 i 12 są różne, a $121<133<144$, więc trzeci bok także ma inną długość.

\[11<\sqrt{133}<12\quad\Longrightarrow\quad \text{trójkąt nie jest równoramienny (F)}\]

3 Obliczenie pola

Stosujemy wzór na pole z dwóch boków i sinusa kąta między nimi.

\[P=\frac12\cdot11\cdot12\sin60^\circ=66\cdot\frac{\sqrt3}{2}=33\sqrt3\quad\Longrightarrow\quad \text{drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P)}\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: F. Drugie stwierdzenie: P.

\[\boxed{\mathrm{F},\ \mathrm{P}}\]

Sprawdzenie

Wysokość opuszczona z C na prostą AB ma długość $12\sin60^\circ=6\sqrt3$. Obliczone z niej pole wynosi $33\sqrt3$, zgodnie z wynikiem.

\[\frac12\cdot11\cdot6\sqrt3=33\sqrt3\]

Zadanie 22

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest kwadrat $ABCD$, w którym $A=(4,-1)$. Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie $S=(1,3)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Przekątna kwadratu $ABCD$ ma długość

$5$

$7$

$10$

$14$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie odległości od środka

Punkt S jest środkiem przekątnej AC, więc najpierw obliczamy długość AS ze wzoru na odległość punktów.

\[AS=\sqrt{(4-1)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{9+16}=5\]

2 Obliczenie przekątnej

Środek przekątnej dzieli ją na dwie równe części, zatem AC ma długość dwa razy większą niż AS.

\[AC=2\cdot AS=2\cdot5=10\]

Odpowiedź

Przekątna ma długość 10. Odpowiedź C.

\[AC=10\]

Sprawdzenie

Wierzchołek przeciwległy do A ma współrzędne (-2,7), ponieważ S jest środkiem AC. Odległość tych wierzchołków wynosi 10.

\[C=2S-A=(-2,7),\qquad AC=\sqrt{(4+2)^2+(-1-7)^2}=10\]

Zadanie 23

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

79%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami

$k:\ y=(m-2)x+5$
$l:\ y=-4x+(m+3)$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy liczba $m$ jest równa

$(-4)$

$(-2)$

$2$

$5$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie współczynników kierunkowych

Proste w postaci kierunkowej są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Dlatego porównujemy współczynniki przy $x$.

\[m-2=-4\]

2 Obliczenie wartości parametru

Dodajemy 2 do obu stron równania.

\[m=-4+2=-2\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: $m=-2$.

\[m=-2\]

Sprawdzenie

Dla $m=-2$ obie proste mają współczynnik kierunkowy $-4$. Ich wyrazy wolne to odpowiednio 5 i 1, więc są różnymi prostymi równoległymi.

\[k:\ y=-4x+5,\qquad l:\ y=-4x+1\]

Zadanie 24

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkt $P=(0,0)$ leży na okręgu $\mathcal{O}$ o środku w punkcie $S=(2,4)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem

$(x-2)^2+(y-4)^2=2\sqrt{5}$

$(x-2)^2+(y-4)^2=20$

$(x+2)^2+(y+4)^2=2\sqrt{5}$

$(x+2)^2+(y+4)^2=20$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kwadratu promienia

Punkt P leży na okręgu, więc jego odległość od środka S jest promieniem.

\[r^2=(0-2)^2+(0-4)^2=4+16=20\]

2 Zapisanie równania okręgu

Podstawiamy współrzędne środka i kwadrat promienia do wzoru na równanie okręgu.

\[(x-2)^2+(y-4)^2=20\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[(x-2)^2+(y-4)^2=20\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu współrzędnych punktu P lewa strona wynosi 20, więc punkt P leży na otrzymanym okręgu.

\[(0-2)^2+(0-4)^2=20\]

Zadanie 25

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Stereometria

49%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Tworząca stożka ma długość $8$. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $120^\circ$.

Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia i wysokości

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Wysokość dzieli kąt rozwarcia na dwa kąty po 60°, tworząc trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej 8.

\[r=8\sin 60^\circ=4\sqrt{3},\qquad h=8\cos 60^\circ=4\]

2 Obliczenie objętości

Podstawiamy promień i wysokość do wzoru na objętość stożka.

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi(4\sqrt{3})^2\cdot4=64\pi\]

Odpowiedź

Objętość stożka wynosi $64\pi$ jednostek sześciennych.

\[V=64\pi\]

Sprawdzenie

Promień i wysokość dają tworzącą długości 8, a stosunek promienia do wysokości odpowiada połowie kąta rozwarcia.

\[\sqrt{(4\sqrt{3})^2+4^2}=8,\qquad \frac{r}{h}=\sqrt{3}=\tan 60^\circ\]

Zadanie 26

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Objętość sześcianu jest równa $729$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

$9\sqrt{3}$

$9\sqrt{2}$

$3\sqrt{3}$

$3\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie krawędzi

Objętość sześcianu o krawędzi a wynosi a³, więc wyznaczamy dodatnią długość krawędzi.

\[a^3=729=9^3,\quad a=9\]

2 Obliczenie przekątnej

Twierdzenie Pitagorasa zastosowane do trzech prostopadłych krawędzi daje kwadrat przekątnej równy sumie kwadratów ich długości.

\[d^2=a^2+a^2+a^2=3a^2,\quad d=a\sqrt{3}=9\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[d=9\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Krawędź 9 daje objętość 729, a kwadrat otrzymanej przekątnej jest równy sumie kwadratów trzech krawędzi.

\[9^3=729,\quad (9\sqrt{3})^2=243=9^2+9^2+9^2\]

Zadanie 27

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

71%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra $0$, jest

$45$

$50$

$54$

$81$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie miejsca zera

Cyfra setek nie może być zerem, bo liczba ma trzy cyfry. Cyfra jedności też nie może być zerem, bo liczba jest nieparzysta. Zatem zero musi wystąpić na miejscu dziesiątek.

\[\overline{a0c},\quad a\in\{1,2,\ldots,9\},\quad c\in\{1,3,5,7,9\}\]

2 Policzenie liczb

Cyfrę setek wybieramy na 9 sposobów, a cyfrę jedności na 5 sposobów. Każda para wyborów daje inną liczbę.

\[9\cdot 5=45\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 45. Odpowiedź A.

\[45\]

Sprawdzenie

Każda policzona liczba jest trzycyfrowa, nieparzysta i ma dokładnie jedno zero. W każdej liczbie spełniającej warunki zero musi być cyfrą dziesiątek, więc żadnej nie pominięto.

\[\overline{a0c},\quad a\in\{1,\ldots,9\},\ c\in\{1,3,5,7,9\}\]

Zadanie 28

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

85%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zdarzenie $A$ polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa $11$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe

$\frac{1}{36}$

$\frac{6}{36}$

$\frac{11}{36}$

$\frac{2}{36}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Każdy z dwóch rzutów ma 6 możliwych wyników. Ponieważ uwzględniamy kolejność rzutów, wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników jest 36.

\[|\Omega|=6\cdot 6=36\]

2 Obliczenie prawdopodobieństwa

Sumę 11 dają dwa wyniki: najpierw 5, potem 6 oraz najpierw 6, potem 5. Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[A=\{(5,6),(6,5)\},\qquad P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{2}{36}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 2/36. Odpowiedź D.

\[P(A)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}\]

Sprawdzenie

W każdym rzucie można otrzymać najwyżej 6. Aby suma wyniosła 11, jedyne możliwości to 5 i 6 w dwóch kolejnościach, więc liczba wyników sprzyjających wynosi 2.

\[5+6=11,\qquad 6+5=11\]

Zadanie 29

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

91%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ x,\ y$, jest równa $3$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma $x + y$ jest równa

$4$

$5$

$6$

$7$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz warunek średniej

Średnia arytmetyczna to suma liczb podzielona przez ich liczbę.

\[\frac{1+2+3+4+5+x+y}{7}=3\]

2 Oblicz sumę

Mnożymy obie strony przez 7 i odejmujemy sumę pięciu znanych liczb, równą 15.

\[15+x+y=21\quad\Rightarrow\quad x+y=6\]

Odpowiedź

Suma wynosi 6. Odpowiedź C.

\[x+y=6\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymanej sumy średnia siedmiu liczb wynosi 3.

\[\frac{1+2+3+4+5+6}{7}=\frac{21}{7}=3\]

Zadanie 30.1

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

70%średni wynik CKE · całe zadanie

Średni procent zdobytych punktów. Dotyczy całego zadania 30, nie tylko tego podpunktu. Raport CKE ↗

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej 24 uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa .......... .

Diagram słupkowy liczby uczniów według oceny: ocena 1 — 1 uczeń, 2 — 3, 3 — 4, 4 — 4, 5 — 5, 6 — 7. Oś pozioma: ocena; oś pionowa: liczba uczniów.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie środkowych pozycji

Ponieważ uczniów jest 24, mediana jest średnią ocen na pozycjach 12. i 13. po uporządkowaniu wyników.

\[\frac{24}{2}=12\]

2 Odczytanie ocen i obliczenie mediany

Oceny od 1 do 4 otrzymało łącznie 12 uczniów, więc 12. ocena to 4, a 13. ocena to 5.

\[1+3+4+4=12,\qquad \operatorname{Me}=\frac{4+5}{2}=\frac{9}{2}=4{,}5\]

Odpowiedź

Mediana ocen jest równa 4,5.

\[\operatorname{Me}=4{,}5\]

Sprawdzenie

Suma liczebności wynosi 24. Pierwszych 12 uporządkowanych ocen nie przekracza 4, a kolejnych 5 ocen to 5, więc środkowe oceny to rzeczywiście 4 i 5.

\[1+3+4+4+5+7=24\]

Zadanie 30.2

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte