Zbiór zadań maturalnych

Układy równań — zadania maturalne

Układy równań: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

5 zadańStrona 1 z 1

Sortuj:

Zadanie 11

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte2 pkt

Układy równań

91%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest prostokąt o bokach długości $a$ i $b$, gdzie $a>b$. Obwód tego prostokąta jest równy $30$. Jeden z boków prostokąta jest o $5$ krótszy od drugiego.

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami ……… oraz ……… .

$\begin{cases}2ab=30\\a-b=5\end{cases}$

$\begin{cases}2a+b=30\\a=5b\end{cases}$

$\begin{cases}2(a+b)=30\\b=a-5\end{cases}$

$\begin{cases}2a+2b=30\\b=5a\end{cases}$

$\begin{cases}2a+2b=30\\a-b=5\end{cases}$

$\begin{cases}a+b=30\\a=b+5\end{cases}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz obwód

Obwód prostokąta jest sumą długości jego czterech boków, więc jest równy 30.

\[2(a+b)=2a+2b=30\]

2 Zapisz różnicę boków

Ponieważ a>b, krótszy bok b ma długość a−5. Równoważnie różnica boków wynosi 5.

\[b=a-5\quad\Longleftrightarrow\quad a-b=5\]

3 Wybierz układy

Obie równoważne postacie równania obwodu i różnicy boków występują w odpowiedziach C oraz E.

\[\begin{cases}2(a+b)=30\\b=a-5\end{cases}\qquad\begin{cases}2a+2b=30\\a-b=5\end{cases}\]

Odpowiedź

Właściwe odpowiedzi: C i E.

\[\boxed{\mathrm{C},\ \mathrm{E}}\]

Sprawdzenie

Z obu układów wynika a=10 i b=5. Boki są dodatnie, a>b, ich obwód wynosi 30, a różnica 5.

\[a+b=15,\quad a-b=5\quad\Longrightarrow\quad a=10,\ b=5;\qquad 2(10+5)=30,\quad 10-5=5\]

Zadanie 10

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

85%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ jednego z niżej zapisanych układów równań A–D.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

$Układ współrzędnych z dwiema prostymi przecinającymi się w punkcie $(1,1)$.$

$\begin{cases}y=-x+2\\y=-2x+1\end{cases}$

$\begin{cases}y=x-2\\y=-2x-1\end{cases}$

$\begin{cases}y=x-2\\y=2x+1\end{cases}$

$\begin{cases}y=-x+2\\y=2x-1\end{cases}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie równania prostej malejącej

Z wykresu odczytujemy punkty $(0,2)$ i $(2,0)$. Zmiana wartości $y$ o $-2$ przy zmianie $x$ o $2$ daje współczynnik kierunkowy $-1$.

\[a=\frac{0-2}{2-0}=-1,\qquad y=-x+2\]

2 Wyznaczenie równania prostej rosnącej

Prosta przechodzi przez punkty $(0,-1)$ i $(1,1)$, więc jej współczynnik kierunkowy wynosi $2$.

\[a=\frac{1-(-1)}{1-0}=2,\qquad y=2x-1\]

3 Wybór układu

Oba odczytane równania występują razem w odpowiedzi D.

\[\begin{cases}y=-x+2\\y=2x-1\end{cases}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\boxed{D}\]

Sprawdzenie

Dla x=1 oba równania dają y=1, zgodnie z punktem przecięcia prostych na rysunku.

\[-1+2=1,\qquad 2\cdot1-1=1\]

Zadanie 11

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

71%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Układ współrzędnych z dwiema równoległymi prostymi malejącymi, osiami, grotami oraz oznaczeniami 0 i 1.

$\begin{cases}y=-\frac{3}{2}x+3\\y=-\frac{3}{2}x-1\end{cases}$

$\begin{cases}y=\frac{3}{2}x+3\\y=-\frac{2}{3}x-1\end{cases}$

$\begin{cases}y=\frac{3}{2}x+3\\y=\frac{3}{2}x-1\end{cases}$

$\begin{cases}y=-\frac{3}{2}x-3\\y=\frac{3}{2}x+1\end{cases}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie kierunku prostych

Obie proste są równoległe i malejące, więc mają jednakowy ujemny współczynnik kierunkowy. Spośród podanych układów ten warunek spełnia tylko A.

\[a_1=a_2=-\frac{3}{2}\]

2 Sprawdzenie przecięć z osią y

Na rysunku górna prosta przecina oś y w punkcie 3, a dolna w punkcie −1. Są to wyrazy wolne równań w odpowiedzi A.

\[y=-\frac{3}{2}x+3,\qquad y=-\frac{3}{2}x-1\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\begin{cases}y=-\frac{3}{2}x+3\\y=-\frac{3}{2}x-1\end{cases}\]

Sprawdzenie

Dla x=0 równania dają odpowiednio y=3 i y=−1, zgodnie z rysunkiem. Jednakowe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne oznaczają dwie różne proste równoległe.

\[-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2},\qquad 3\ne-1\]

Zadanie 10

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

57%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.

Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Niech $x$ oraz $y$ oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby $x$ drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby $y$ drzew posadzonych w drugim sadzie, jest

$\begin{cases}x+y=1960\\0{,}6\cdot0{,}95x=0{,}9y\end{cases}$

$\begin{cases}x+y=1960\\0{,}95x=0{,}6\cdot0{,}9y\end{cases}$

$\begin{cases}x+y=1960\\0{,}05x=0{,}6\cdot0{,}1y\end{cases}$

$\begin{cases}x+y=1960\\0{,}4\cdot0{,}95x=0{,}9y\end{cases}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz liczbę drzew, które pozostały

W pierwszym sadzie pozostało 95% posadzonych drzew, a w drugim 90%.

\[x_{\text{pozostałe}}=0{,}95x,\qquad y_{\text{pozostałe}}=0{,}9y\]

2 Ułóż układ równań

Łącznie posadzono 1960 drzew. Liczba drzew pozostałych w drugim sadzie stanowi 60% liczby drzew pozostałych w pierwszym.

\[\begin{cases}x+y=1960\\0{,}9y=0{,}6\cdot0{,}95x\end{cases}\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A.

\[\boxed{\begin{cases}x+y=1960\\0{,}6\cdot0{,}95x=0{,}9y\end{cases}}\]

Sprawdzenie

Z układu otrzymujemy x = 1200 i y = 760. Po roku pozostało odpowiednio 1140 i 684 drzew; 684 stanowi 60% z 1140, a 1200 + 760 = 1960.

\[0{,}95\cdot1200=1140,\quad 0{,}9\cdot760=684=0{,}6\cdot1140\]

Zadanie 9

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Układy równań

30%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę 1 200 000 złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie 146 700 złotych – zespół A wykorzystał 13% przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał 11% przyznanych mu środków.

Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie kwot

Oznaczamy kwotę dla zespołu A przez x. Ponieważ oba zespoły otrzymały łącznie 1 200 000 zł, zespół B otrzymał pozostałą kwotę.

\[A=x,\qquad B=1\,200\,000-x\]

2 Ułożenie równania

Suma wydatków zespołów, czyli odpowiednio 13% i 11% przyznanych kwot, wyniosła 146 700 zł.

\[0{,}13x+0{,}11(1\,200\,000-x)=146\,700\]

3 Rozwiązanie równania

Rozwijamy nawias i dzielimy przez 0,02, aby wyznaczyć kwotę dla zespołu A.

\[0{,}02x+132\,000=146\,700\quad\Rightarrow\quad 0{,}02x=14\,700\quad\Rightarrow\quad x=735\,000\]

Odpowiedź

Zespołowi A przyznano 735 000 zł.

\[735\,000\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Zespół B otrzymał 465 000 zł. Wydatki obu zespołów wyniosły łącznie 146 700 zł, zgodnie z treścią zadania.

\[0{,}13\cdot735\,000+0{,}11\cdot465\,000=95\,550+51\,150=146\,700\]

Układy równań — zadania maturalne

Filtry zadań

Znajdź zadanie

1 Zapisz obwód

2 Zapisz różnicę boków

3 Wybierz układy

Odpowiedź

Sprawdzenie

1 Wyznaczenie równania prostej malejącej

2 Wyznaczenie równania prostej rosnącej

3 Wybór układu

Odpowiedź

Sprawdzenie

1 Odczytanie kierunku prostych

2 Sprawdzenie przecięć z osią y

Odpowiedź

Sprawdzenie

1 Zapisz liczbę drzew, które pozostały

2 Ułóż układ równań

Odpowiedź

Sprawdzenie

1 Oznaczenie kwot

2 Ułożenie równania

3 Rozwiązanie równania

Odpowiedź

Sprawdzenie