Zbiór zadań maturalnych

Funkcje — zadania maturalne

Funkcje: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

65 zadańStrona 1 z 5

Sortuj:

Zadanie 12.3

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

94%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ narysowano wykres funkcji $y=f(x)$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $f$ jest malejąca w zbiorze

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, wspólny dla podzadań 12.1–12.3.

$[-6,-3)$

$[-3,1]$

$(1,2]$

$[2,5]$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wykresu

Funkcja jest malejąca tam, gdzie wraz ze wzrostem argumentu jej wartość maleje. Na wykresie dzieje się tak od x=2 do x=5, a oba końce należą do wykresu.

\[f(2)=5,\quad f(5)=3,\quad 5>3\]

Odpowiedź

D. Funkcja f jest malejąca w przedziale [2,5].

\[[2,5]\]

Sprawdzenie

Odcinek wykresu na tym przedziale ma ujemne nachylenie, więc wartości funkcji maleją dla każdej pary argumentów w przedziale.

\[\frac{f(5)-f(2)}{5-2}=\frac{3-5}{3}=-\frac{2}{3}<0\]

Zadanie 12.1

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

91%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ narysowano wykres funkcji $y=f(x)$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych

$[-6,5]$

$(-6,5)$

$(-3,5]$

$[-3,5]$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt przedziałów

Dziedzinę tworzą wszystkie współrzędne x punktów wykresu. Pełne kółko oznacza, że dana wartość x należy do dziedziny.

\[[-6,-3)\cup[-3,1]\cup(1,5]\]

2 Połączenie przedziałów

Wartość x=-3 należy do drugiego odcinka, a x=1 także należy do wykresu. Między końcami nie ma więc przerw.

\[[-6,-3)\cup[-3,1]\cup(1,5]=[-6,5]\]

Odpowiedź

A. Dziedziną funkcji jest przedział od −6 do 5 z oboma końcami.

\[D_f=[-6,5]\]

Sprawdzenie

Na wykresie są punkty dla x=−6 i x=5. Przy x=−3 oraz x=1 puste kółka nie tworzą luk, ponieważ dla obu tych wartości zaznaczono również pełne punkty.

\[-6,-3,1,5\in D_f\]

Zadanie 12

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

85%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W układzie współrzędnych $(x,y)$ narysowano wykres funkcji $y=f(x)$ (zobacz rysunek).

Funkcja $f$ jest malejąca w zbiorze

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych.

$\langle-6,-3)$

$\langle-3,1\rangle$

$(1,2\rangle$

$\langle2,5\rangle$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie przedziału

Funkcja jest malejąca tam, gdzie wraz ze wzrostem argumentu wartości funkcji maleją. Na wykresie dzieje się tak od x=2 do x=5; oba końce należą do wykresu.

\[f(2)=5>3=f(5),\qquad x\in\langle 2,5\rangle\]

Odpowiedź

D. Funkcja jest malejąca w przedziale od 2 do 5, z oboma końcami.

\[\langle 2,5\rangle\]

Sprawdzenie

Odcinek wykresu od (2,5) do (5,3) ma ujemne nachylenie, więc wartości funkcji maleją w całym wskazanym przedziale.

\[\frac{3-5}{5-2}=-\frac{2}{3}<0\]

Zadanie 12.2

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

84%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne $(3,6)$. Ta parabola przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych $(0,3)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu

$Fragment wykresu paraboli w układzie współrzędnych z oznaczonymi osiami, podziałką i napisem $y=f(x)$.$

$x=3$

$x=-3$

$y=6$

$y=-6$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie osi symetrii

Oś symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej jest pionową prostą przechodzącą przez jej wierzchołek. Współrzędna x wierzchołka wynosi 3.

\[(x_w,y_w)=(3,6)\quad\Longrightarrow\quad x=x_w=3\]

Odpowiedź

Oś symetrii ma równanie x=3. Odpowiedź A.

\[x=3\]

Sprawdzenie

Prosta x=3 przechodzi przez wierzchołek (3,6) i jest pionowa, więc spełnia warunek osi symetrii wykresu funkcji kwadratowej.

\[(3,6)\in\{(x,y):x=3\}\]

Zadanie 10

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

81%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Informacja do zadań 10. i 11.

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(1,9)$. Liczby $-2$ i $4$ to miejsca zerowe funkcji $f$.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział

Wykres paraboli skierowanej ramionami w dół w układzie współrzędnych, z widocznymi osiami, grotami, etykietami i siatką.

$( -\infty,-2\rangle$

$\langle-2,4\rangle$

$\langle4,+\infty)$

$( -\infty,9\rangle$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wartości największej

Ramiona paraboli są skierowane w dół, więc wierzchołek W=(1,9) wyznacza największą wartość funkcji.

\[f(1)=9\]

2 Wyznaczenie zbioru wartości

Funkcja przyjmuje wartość 9, a jej wartości maleją bez ograniczenia. Zatem należą do zbioru wszystkie liczby nie większe od 9.

\[y\leq 9\quad\Longrightarrow\quad W_f=(-\infty,9\rangle\]

Odpowiedź

Zbiorem wartości jest przedział od minus nieskończoności do 9 włącznie. Odpowiedź D.

\[W_f=(-\infty,9\rangle\]

Sprawdzenie

Wierzchołek daje wartość 9, a miejsca zerowe −2 i 4 potwierdzają, że funkcja przyjmuje także wartości mniejsze od 9.

\[f(-2)=f(4)=0<9\]

Zadanie 11

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

80%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Informacja do zadań 11.–13.

W układzie współrzędnych $(x,y)$ narysowano wykres funkcji $y=f(x)$ (zobacz rysunek).

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór

Wykres funkcji y=f(x): odcinek poziomy od punktu pełnego (-6,2) do pustego (-3,2); odcinek rosnący od (-3,-3) do (1,1), oba końce pełne; odcinek poziomy od punktu pustego (1,5) do (2,5), następnie odcinek malejący do punktu pełnego (5,3).

$\langle-6,5\rangle$

$(-6,5)$

$(-3,5\rangle$

$\langle-3,5\rangle$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie przedziałów

Dziedzina obejmuje wartości x, dla których na wykresie leży punkt funkcji. Pełne kółko oznacza, że koniec odcinka należy do dziedziny, a puste — że nie należy do tego odcinka.

\[D_1=[-6,-3),\quad D_2=[-3,1],\quad D_3=(1,5]\]

2 Połączenie przedziałów

Wartości x=-3 i x=1 należą do sąsiednich odcinków, więc między najmniejszą a największą wartością x nie ma przerwy.

\[D_f=[-6,-3)\cup[-3,1]\cup(1,5]=[-6,5]\]

Odpowiedź

Dziedziną jest przedział od -6 do 5 wraz z końcami. Odpowiedź A.

\[D_f=\langle-6,5\rangle\]

Sprawdzenie

Na wykresie są pełne punkty dla x=-6 oraz x=5. Każda wartość x pomiędzy nimi występuje na co najmniej jednym odcinku wykresu.

\[-6\in D_f,\quad 5\in D_f,\quad D_f=\langle-6,5\rangle\]

Zadanie 6

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

80%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem $f(x)=-2(x+3)(x-5)$. Liczby $x_1$, $x_2$ są różnymi miejscami zerowymi funkcji $f$. Zatem

$x_1+x_2=-8$

$x_1+x_2=-2$

$x_1+x_2=2$

$x_1+x_2=8$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Ponieważ czynnik −2 jest różny od zera, iloczyn jest równy zeru, gdy jeden z nawiasów jest równy zeru.

\[-2(x+3)(x-5)=0\iff x+3=0\ \text{lub}\ x-5=0\iff x=-3\ \text{lub}\ x=5\]

2 Obliczenie sumy

Dodajemy otrzymane miejsca zerowe i wybieramy odpowiadającą im odpowiedź.

\[x_1+x_2=-3+5=2\]

Odpowiedź

C. Suma miejsc zerowych wynosi 2.

\[x_1+x_2=2\]

Sprawdzenie

Dla obu otrzymanych liczb jeden z czynników wzoru funkcji jest zerem, więc są to jej różne miejsca zerowe.

\[f(-3)=-2\cdot0\cdot(-8)=0,\qquad f(5)=-2\cdot8\cdot0=0\]

Zadanie 9

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

80%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykresem funkcji kwadratowej $f(x)=x^2-6x-3$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

$(-6,-3)$

$(-6,69)$

$(3,-12)$

$(6,-3)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pierwszej współrzędnej

Dla funkcji kwadratowej $ax^2+bx+c$ pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi $-\frac{b}{2a}$. Tutaj $a=1$ i $b=-6$.

\[x_w=-\frac{-6}{2\cdot1}=3\]

2 Obliczenie drugiej współrzędnej

Druga współrzędna wierzchołka to wartość funkcji dla $x=3$.

\[y_w=f(3)=3^2-6\cdot3-3=9-18-3=-12\]

Odpowiedź

Wierzchołek ma współrzędne $(3,-12)$. Odpowiedź C.

\[W=(3,-12)\]

Sprawdzenie

Po zapisaniu funkcji w postaci kanonicznej otrzymujemy $f(x)=(x-3)^2-12$. Ponieważ współczynnik przy kwadracie jest dodatni, wierzchołek rzeczywiście leży w punkcie $(3,-12)$.

\[x^2-6x-3=(x-3)^2-12\]

Zadanie 9

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

80%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem $f(x)=(m-1)x+3$ leży punkt $S=(5,-2)$. Zatem

$m=-1$

$m=0$

$m=1$

$m=2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie współrzędnych punktu

Punkt leży na wykresie, więc dla x=5 wartość funkcji wynosi -2.

\[-2=5(m-1)+3\]

2 Wyznaczenie parametru

Odejmujemy 3 od obu stron, a następnie dzielimy przez 5.

\[-5=5(m-1)\quad\Rightarrow\quad -1=m-1\quad\Rightarrow\quad m=0\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: m=0.

\[m=0\]

Sprawdzenie

Dla m=0 otrzymujemy f(5)=-2, więc punkt S należy do wykresu.

\[f(5)=(0-1)\cdot 5+3=-2\]

Zadanie 14.2

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

79%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z osiami, grotami, podziałką i etykietami.

$f(x)=-(x+1)^2-9$

$f(x)=-(x-1)^2+9$

$f(x)=-(x-1)^2-9$

$f(x)=-(x+1)^2+9$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie wierzchołka

Z wykresu odczytujemy wierzchołek $(1,9)$. Parabola jest skierowana ramionami w dół, więc współczynnik przy kwadracie jest ujemny.

\[f(x)=a(x-1)^2+9,\quad a<0\]

2 Wyznaczenie współczynnika

Parabola przecina oś $y$ w punkcie $(0,8)$. Podstawiamy jego współrzędne do wzoru.

\[8=a(0-1)^2+9\quad\Rightarrow\quad a=-1\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B.

\[f(x)=-(x-1)^2+9\]

Sprawdzenie

Wzór daje wierzchołek $(1,9)$, punkt przecięcia z osią $y$ równy $(0,8)$ oraz miejsca zerowe $-2$ i $4$, zgodne z wykresem.

\[f(0)=8,\qquad -(x-1)^2+9=0\ \Rightarrow\ x=-2\ \text{lub}\ x=4\]

Zadanie 13

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

79%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=ax+b$, gdzie $a$ i $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$ w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $a$ oraz liczba $b$ we wzorze funkcji $f$ spełniają warunki:

$Fragment wykresu funkcji $y=f(x)$ w układzie współrzędnych z oznaczonymi osiami $x$ i $y$, punktem $0$ oraz jednostkami na obu osiach. Prosta opada w prawo i przecina dodatnie części obu osi.$

$a>0$ i $b>0$.

$a>0$ i $b<0$.

$a<0$ i $b>0$.

$a<0$ i $b<0$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Znak współczynnika a

Prosta opada, gdy x rośnie, więc współczynnik kierunkowy jest ujemny.

\[a<0\]

2 Znak wyrazu wolnego b

Wyraz wolny to wartość funkcji dla x=0. Prosta przecina oś y powyżej zera, więc jest on dodatni.

\[b=f(0)>0\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: a<0 i b>0.

\[a<0\quad\text{i}\quad b>0\]

Sprawdzenie

Ujemne a odpowiada prostej opadającej w prawo, a dodatnie b jej przecięciu z dodatnią częścią osi y. Obie własności widać na rysunku.

\[a<0,\quad f(0)=b>0\]

Zadanie 8

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

79%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=a(x-1)(x-3)$. Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(2,1)$.

Największa wartość funkcji $f$ w przedziale $\langle 1,4\rangle$ jest równa

Fragment paraboli w układzie współrzędnych z wierzchołkiem W=(2,1), osiami, podziałką i siatką.

$-3$

$0$

$1$

$2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika

Wierzchołek należy do wykresu, więc f(2)=1. Podstawiamy x=2 do wzoru funkcji.

\[1=a(2-1)(2-3)=-a,\quad a=-1\]

2 Największa wartość

Ponieważ a<0, ramiona paraboli są skierowane w dół. Wierzchołek ma największą wartość funkcji, a jego pierwsza współrzędna należy do przedziału ⟨1,4⟩.

\[2\in\langle 1,4\rangle,\qquad \max_{x\in\langle 1,4\rangle}f(x)=f(2)=1\]

Odpowiedź

Największa wartość wynosi 1. Odpowiedź C.

\[\boxed{1}\quad\text{C}\]

Sprawdzenie

Na końcach przedziału wartości są mniejsze: f(1)=0 i f(4)=−3. Potwierdza to wynik w wierzchołku.

\[f(1)=0<1,\qquad f(4)=-(4-1)(4-3)=-3<1\]

Zadanie 8

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

79%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(2,-4)$. Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji $f$.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział

Układ współrzędnych z fragmentem paraboli, wierzchołkiem W=(2,−4) i miejscami zerowymi 0 oraz 4

$(−\infty,0\rangle$

$\langle 0,4\rangle$

$\langle -4,+\infty)$

$\langle 4,+\infty)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie najmniejszej wartości

Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku.

\[W=(2,-4)\quad\Longrightarrow\quad f(2)=-4\]

2 Wyznaczenie zbioru wartości

Funkcja przyjmuje wartość −4 oraz wszystkie wartości od niej większe.

\[y\geqslant -4\quad\Longrightarrow\quad Z_f=[-4,+\infty)\]

Odpowiedź

Zbiorem wartości jest przedział od −4 włącznie do nieskończoności. Odpowiedź C.

\[Z_f=[-4,+\infty)\]

Sprawdzenie

Miejsca zerowe potwierdzają, że wartość 0 należy do tego przedziału, a wierzchołek na wykresie potwierdza osiąganie wartości −4.

\[f(0)=f(4)=0\geqslant -4,\qquad f(2)=-4\]

Zadanie 11

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

79%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej $f$ określonej wzorem $f(x)=a^x$. Punkt $A=(1,2)$ należy do tego wykresu funkcji.

Podstawa $a$ potęgi jest równa

$Fragment wykresu funkcji wykładniczej $f(x)=a^x$ z zaznaczonym punktem $A=(1,2)$, osiami i podziałką.$

$-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

$-2$

$2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie współrzędnych punktu

Ponieważ punkt A=(1,2) należy do wykresu, dla x=1 wartość funkcji wynosi 2.

\[f(1)=a^1=2\]

2 Wyznaczenie podstawy

Pierwsza potęga liczby jest równa tej liczbie, więc podstawą jest 2.

\[a=2\]

Odpowiedź

Podstawa a jest równa 2. Odpowiedź D.

\[a=2\]

Sprawdzenie

Dla a=2 otrzymujemy f(1)=2, zgodnie ze współrzędnymi punktu A. Podstawa spełnia też warunki funkcji wykładniczej: a>0 i a≠1.

\[2^1=2,\qquad 2>0,\qquad 2\ne 1\]

Zadanie 14

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

78%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f$ jest liczba $(-5)$. Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$, jest równa $3$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Drugim miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba

$11$

$1$

$(-1)$

$(-13)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną jej miejsc zerowych. Podstawiamy znane wartości i rozwiązujemy równanie.

\[3=\frac{-5+x_2}{2}\quad\Rightarrow\quad 6=-5+x_2\quad\Rightarrow\quad x_2=11\]

Odpowiedź

Drugim miejscem zerowym jest 11. Odpowiedź A.

\[x_2=11\]

Sprawdzenie

Średnia miejsc zerowych −5 i 11 wynosi 3, czyli jest równa podanej pierwszej współrzędnej wierzchołka.

\[\frac{-5+11}{2}=3\]