Zbiór zadań maturalnych

Optymalizacja i rachunek różniczkowy — zadania maturalne

Optymalizacja i rachunek różniczkowy: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

Filtry zadań

Znajdź zadanie

Więcej filtrów
Wyczyść filtry
3 zadańStrona 1 z 1
Zadanie 31.2
Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
53%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę \(L\) obsługiwanych klientów \(n\)-tego dnia opisuje funkcja \[L(n)=-n^2+22n+279\] gdzie \(n\) jest liczbą naturalną spełniającą warunki \(n\geq 1\) i \(n\leq 30\).

Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie postaci kanonicznej

Zapisujemy funkcję jako kwadrat, aby ustalić, kiedy przyjmuje największą wartość.

\[L(n)=-n^2+22n+279=-(n-11)^2+400\]

2 Wyznaczenie dnia i liczby klientów

Kwadrat jest nieujemny, więc największą wartość otrzymujemy, gdy jest równy zeru. Liczba 11 należy do przedziału dni od 1 do 30.

\[(n-11)^2=0\iff n=11,\qquad L(11)=400\]

Odpowiedź

Najwięcej klientów, 400, obsłużono jedenastego dnia.

\[n=11,\qquad L(11)=400\]

Sprawdzenie

Dla każdego dopuszczalnego dnia kwadrat liczby n−11 jest nieujemny, więc liczba klientów nie przekracza 400. W jedenastym dniu osiąga 400.

\[1\leq n\leq 30\implies L(n)=400-(n-11)^2\leq 400\]
Zadanie 31
Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy
Otwarte4 pkt
38%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozważamy wszystkie prostopadłościany \(ABCDEFGH\), w których krawędź \(BC\) ma długość \(4\) oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka \(B\) jest równa \(15\) (zobacz rysunek).

Niech \(P(x)\) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości \(x\) krawędzi \(AB\).

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji \(P\). Oblicz długość \(x\) krawędzi \(AB\) tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

Prostopadłościan ABCDEFGH; krawędź AB oznaczona x, krawędź BC oznaczona 4. Krawędzie niewidoczne zaznaczono linią przerywaną.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości i dziedziny

Z wierzchołka B wychodzą trzy krawędzie o długościach x, 4 i BF. Ich suma wynosi 15. Każda długość musi być dodatnia.

\[x+4+BF=15\quad\Rightarrow\quad BF=11-x>0,\qquad x>0\quad\Rightarrow\quad x\in(0,11)\]

2 Wzór na pole powierzchni

Prostopadłościan ma po dwie ściany o polach równych iloczynom każdej pary jego wymiarów.

\[P(x)=2\bigl(4x+4(11-x)+x(11-x)\bigr)=-2x^2+22x+88\]

3 Największe pole

Po sprowadzeniu wzoru do postaci kanonicznej widać, że odejmowany kwadrat jest najmniejszy dla x równego 11/2. Ta wartość należy do dziedziny.

\[P(x)=-2\left(x-\frac{11}{2}\right)^2+\frac{297}{2}\leq\frac{297}{2},\qquad x=\frac{11}{2}\]

Odpowiedź

Dziedzina funkcji P to (0,11). Największe pole powierzchni całkowitej występuje, gdy krawędź AB ma długość 11/2.

\[P(x)=-2x^2+22x+88,\quad x\in(0,11);\qquad x_{\max}=\frac{11}{2}\]

Sprawdzenie

Dla x=11/2 wysokość również wynosi 11/2, więc wszystkie krawędzie mają dodatnie długości, a ich suma przy B wynosi 15. Podstawienie do wzoru daje największe pole 297/2.

\[\frac{11}{2}+4+\frac{11}{2}=15,\qquad P\left(\frac{11}{2}\right)=2\left(4\cdot\frac{11}{2}+4\cdot\frac{11}{2}+\frac{11}{2}\cdot\frac{11}{2}\right)=\frac{297}{2}\]
Zadanie 31
Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy
Otwarte4 pkt
Optymalizacja i rachunek różniczkowy
35%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć \(36\) metrów bieżących siatki.

Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry). Linią przerywaną zaznaczono siatkę.

Oblicz wymiary \(x\) oraz \(y\) jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.

Schemat trzech sąsiadujących prostokątnych wybiegów. Wspólną wysokość oznaczono x, a szerokość każdego wybiegu y. Linia przerywana oznacza siatkę, także na dwóch ścianach wewnętrznych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość siatki

Siatka tworzy cztery odcinki długości x (dwa zewnętrzne i dwa wewnętrzne) oraz sześć odcinków długości y.

\[4x+6y=36,\qquad x=9-\frac{3}{2}y,\qquad 0<y<6\]

2 Pole trzech wybiegów

Każdy wybieg ma pole xy. Po podstawieniu zależności między wymiarami otrzymujemy funkcję kwadratową.

\[P(y)=3xy=3y\left(9-\frac{3}{2}y\right)=27y-\frac{9}{2}y^2\]

3 Największe pole

Po sprowadzeniu funkcji do postaci kanonicznej widać, że jej największa wartość występuje dla y=3 m. Z równania na długość siatki obliczamy x.

\[P(y)=-\frac{9}{2}(y-3)^2+\frac{81}{2},\qquad y=3\ \mathrm{m},\qquad x=9-\frac{3}{2}\cdot3=\frac{9}{2}\ \mathrm{m}\]

Odpowiedź

Wymiary jednego wybiegu to x = 4,5 m oraz y = 3 m.

\[x=\frac{9}{2}\ \mathrm{m},\qquad y=3\ \mathrm{m}\]

Sprawdzenie

Dla tych wymiarów zużycie siatki wynosi 36 m. Ponieważ od kwadratu odejmowana jest liczba nieujemna, pole trzech wybiegów nie przekracza 40,5 m²; dla y = 3 m osiąga tę wartość.

\[4\cdot\frac{9}{2}+6\cdot3=36\ \mathrm{m},\qquad P(y)=\frac{81}{2}-\frac{9}{2}(y-3)^2\leq\frac{81}{2}\ \mathrm{m}^2\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz