Zbiór zadań maturalnych

Trygonometria — zadania maturalne

Trygonometria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

26 zadańStrona 1 z 2

Sortuj:

Zadanie 13

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

86%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Sinus kąta ostrego \(\alpha\) jest równy \(\frac{4}{5}\). Wtedy

\(\cos\alpha=\frac{5}{4}\)

\(\cos\alpha=\frac{1}{5}\)

\(\cos\alpha=\frac{9}{25}\)

\(\cos\alpha=\frac{3}{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie jedynki trygonometrycznej

Z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) obliczamy kwadrat cosinusa.

\[\cos^2\alpha=1-\left(\frac45\right)^2=1-\frac{16}{25}=\frac9{25}\]

2 Wybór dodatniego pierwiastka

Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc jego cosinus jest dodatni.

\[\cos\alpha=\sqrt{\frac9{25}}=\frac35\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D.

\[\cos\alpha=\frac35\]

Sprawdzenie

Otrzymane wartości spełniają jedynkę trygonometryczną, a cosinus jest dodatni, jak wymagano dla kąta ostrego.

\[\left(\frac45\right)^2+\left(\frac35\right)^2=\frac{16}{25}+\frac9{25}=1\]

Zadanie 18

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

82%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) zaznaczono kąt \(\alpha\) o wierzchołku w punkcie \(O=(0,0)\). Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią \(Ox\), a drugie przechodzi przez punkt \(P=(-3,1)\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Układ współrzędnych z oznaczonymi osiami, punktem P=(-3,1) i kątem α między dodatnią półosią Ox a ramieniem przechodzącym przez P.

\(\frac{1}{\sqrt{10}}\)

\(-\frac{3}{\sqrt{10}}\)

\(-\frac{3}{1}\)

\(-\frac{1}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal współrzędne punktu

Ramię kąta przechodzi przez punkt P, więc jego współrzędne pozwalają obliczyć tangens kąta.

\[P=(-3,1),\quad x=-3,\quad y=1\]

2 Oblicz tangens

Dla ramienia przechodzącego przez punkt \(P=(x,y)\), gdy \(x\neq 0\), tangens kąta z dodatnią półosią \(Ox\) jest równy \(\frac{y}{x}\).

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{y}{x}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Tangens kąta α wynosi −1/3. Odpowiedź D.

\[\operatorname{tg}\alpha=-\frac{1}{3}\quad\text{(D)}\]

Sprawdzenie

Punkt P leży w II ćwiartce, gdzie tangens jest ujemny. Ponadto iloraz jego współrzędnych to 1/(−3), więc wynik ma właściwy znak i wartość.

\[x<0,\ y>0,\quad \frac{y}{x}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}\]

Zadanie 18.1

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

81%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym bok \(BC\) jest przeciwprostokątną, przyprostokątna \(AB\) ma długość \(6\), a środkowa \(CD\) ma długość \(5\). Oznaczmy kąt \(ADC\) przez \(\alpha\), natomiast kąt \(ABC\) – przez \(\beta\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Trójkąt prostokątny ABC z punktem D na boku AB, odcinkiem CD oraz oznaczeniami kątów alfa przy D i beta przy B. Na rysunku podano długości CD równe 5 i AB równe 6.

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{3}{4}\)

\(\frac{4}{5}\)

\(\frac{4}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie długości AD

Ponieważ CD jest środkową trójkąta ABC, punkt D jest środkiem boku AB.

\[AD=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\]

2 Obliczenie przyprostokątnej AC

Trójkąt ACD jest prostokątny w A, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[AC^2=CD^2-AD^2=5^2-3^2=16,\quad AC=4\]

3 Obliczenie tangensa

W trójkącie ACD bok AC leży naprzeciw kąta α, a AD jest przy nim.

\[\tan\alpha=\frac{AC}{AD}=\frac{4}{3}\]

Odpowiedź

Tangens kąta α wynosi 4/3. Odpowiedź D.

\[\tan\alpha=\frac{4}{3}\]

Sprawdzenie

Długości 3, 4 i 5 spełniają twierdzenie Pitagorasa, a AD + DB = 3 + 3 = 6, zgodnie z danymi.

\[3^2+4^2=5^2,\qquad 3+3=6\]

Zadanie 17

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

81%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{2}{3}\). Wtedy

\(\sin\alpha=\frac{3\sqrt{13}}{26}\)

\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{13}}{13}\)

\(\sin\alpha=\frac{2\sqrt{13}}{13}\)

\(\sin\alpha=\frac{3\sqrt{13}}{13}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie boków trójkąta

Tangens kąta ostrego jest stosunkiem przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przy kącie. Możemy więc przyjąć, że mają one długości 2 i 3.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{2}{3}\]

2 Obliczenie przeciwprostokątnej

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa, aby obliczyć długość potrzebną do wyznaczenia sinusa.

\[c=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\]

3 Obliczenie sinusa

Sinus to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej.

\[\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\sin\alpha=\frac{2\sqrt{13}}{13}\]

Sprawdzenie

Dla tego samego trójkąta cosinus wynosi 3 podzielone przez pierwiastek z 13, więc iloraz sinusa i cosinusa daje wymagany tangens. Sinus jest dodatni, zgodnie z tym, że kąt jest ostry.

\[\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{2/\sqrt{13}}{3/\sqrt{13}}=\frac{2}{3}\]

Zadanie 14

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

72%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Jeśli \(m=\sin 50^\circ\), to

\(m=\sin 40^\circ\)

\(m=\cos 40^\circ\)

\(m=\cos 50^\circ\)

\(m=\operatorname{tg}50^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie tożsamości

Sinus kąta jest równy cosinusowi kąta dopełniającego go do 90°.

\[m=\sin 50^\circ=\cos(90^\circ-50^\circ)=\cos 40^\circ\]

Odpowiedź

B. m = cos 40°.

\[m=\cos 40^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty 40° i 50° sumują się do 90°, więc tożsamość dla kątów dopełniających potwierdza wynik.

\[\cos 40^\circ=\sin(90^\circ-40^\circ)=\sin 50^\circ=m\]

Zadanie 17

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha=2\sin\alpha\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta \(\alpha\) jest równy

\(\frac{1}{2}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz tangens przez sinus i cosinus

Dla kąta ostrego cosinus jest dodatni, więc można użyć wzoru na tangens.

\[\sqrt{3}\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\sin\alpha\]

2 Wyznacz cosinus

Kąt jest ostry, zatem sinus jest dodatni. Dzielimy obie strony przez \(\sin\alpha\) i przekształcamy równanie.

\[\frac{\sqrt{3}}{\cos\alpha}=2\quad\Longrightarrow\quad\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Sprawdzenie

Dla kąta ostrego o takim cosinusie sinus wynosi \(\frac{1}{2}\), a tangens \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). Obie strony warunku są równe \(1\).

\[\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=1=2\cdot\frac{1}{2}=2\sin\alpha\]

Zadanie 14

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Przyprostokątna \(LM\) trójkąta prostokątnego \(KLM\) ma długość 3, a przeciwprostokątna \(KL\) ma długość 8 (zobacz rysunek).

Wtedy miara \(\alpha\) kąta ostrego \(LKM\) tego trójkąta spełnia warunek

Trójkąt prostokątny KLM z kątem prostym przy M, bokiem LM oznaczonym 3, przeciwprostokątną KL oznaczoną 8 i kątem α przy K.

\(27^\circ<\alpha\leq 30^\circ\)

\(24^\circ<\alpha\leq 27^\circ\)

\(21^\circ<\alpha\leq 24^\circ\)

\(18^\circ<\alpha\leq 21^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sinusa kąta

Bok LM leży naprzeciw kąta α, a KL jest przeciwprostokątną, więc korzystamy z definicji sinusa.

\[\sin\alpha=\frac{LM}{KL}=\frac{3}{8}=0{,}375\]

2 Wyznaczenie przedziału

Obliczamy miarę kąta ostrego o takim sinusie i porównujemy ją z przedziałami w odpowiedziach.

\[\alpha=\arcsin\left(\frac{3}{8}\right)\approx22{,}02^\circ,\qquad 21^\circ<\alpha\leq24^\circ\]

Odpowiedź

C. Miara kąta α należy do przedziału (21°, 24°].

\[\boxed{\mathrm{C}:\ 21^\circ<\alpha\leq24^\circ}\]

Sprawdzenie

Sinus rośnie dla kątów ostrych. Ponieważ sin 21° ≈ 0,3584 < 0,375 < 0,4067 ≈ sin 24°, wybrany przedział jest poprawny.

\[\sin21^\circ\approx0{,}3584<\frac38<0{,}4067\approx\sin24^\circ\]

Zadanie 14

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Tangens kąta \(\alpha\) zaznaczonego na rysunku jest równy

Układ współrzędnych z osiami x i y, prostą przechodzącą przez początek układu i punkt P=(-4,5) oraz kątem α zaznaczonym przy początku układu.

\(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(-\frac{4}{5}\)

\(-1\)

\(-\frac{5}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie współrzędnych

Ramię kąta α przechodzi przez początek układu i punkt P=(-4,5), więc jego przesunięcie poziome wynosi -4, a pionowe 5.

\[\Delta x=-4,\qquad \Delta y=5\]

2 Obliczenie tangensa

Tangens kąta między dodatnią półosią x a tym ramieniem jest ilorazem przesunięcia pionowego i poziomego.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5}{-4}=-\frac{5}{4}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\operatorname{tg}\alpha=-\frac{5}{4}\]

Sprawdzenie

Kąt α jest rozwarty, więc jego tangens powinien być ujemny. Otrzymany wynik jest ujemny i odpowiada punktowi P=(-4,5).

\[-4\cdot\left(-\frac{5}{4}\right)=5\]

Zadanie 16

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

69%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(\cos 12^\circ\cdot\sin 78^\circ+\sin 12^\circ\cdot\cos 78^\circ\) jest równa

\(\frac{1}{2}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na sinus sumy

Składniki mają postać ze wzoru na sinus sumy kątów.

\[\cos 12^\circ\sin 78^\circ+\sin 12^\circ\cos 78^\circ=\sin(12^\circ+78^\circ)\]

2 Obliczenie wartości

Suma kątów wynosi 90°, a sinus tego kąta jest równy 1.

\[\sin(12^\circ+78^\circ)=\sin 90^\circ=1\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[1\]

Sprawdzenie

Ponieważ 78° jest dopełnieniem 12° do 90°, wyrażenie jest równe sumie kwadratów sinusa i cosinusa kąta 12°, czyli 1.

\[\sin 78^\circ=\cos 12^\circ,\quad \cos 78^\circ=\sin 12^\circ,\quad \cos^2 12^\circ+\sin^2 12^\circ=1\]

Zadanie 19

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

68%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha\) i \(\beta\) (zobacz rysunek).

Wyrażenie \(2\cos\alpha-\sin\beta\) jest równe

Trójkąt prostokątny z kątem prostym przy lewym dolnym wierzchołku, kątem β przy lewym górnym wierzchołku i kątem α przy prawym dolnym wierzchołku.

\(2\sin\beta\)

\(\cos\alpha\)

\(0\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zależność między kątami

W trójkącie prostokątnym kąty ostre sumują się do \(90^\circ\), więc sinus jednego jest cosinusem drugiego.

\[\alpha+\beta=90^\circ,\qquad \sin\beta=\cos\alpha\]

2 Uproszczenie wyrażenia

Podstawiamy tę równość i redukujemy wyrazy podobne.

\[2\cos\alpha-\sin\beta=2\cos\alpha-\cos\alpha=\cos\alpha\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\cos\alpha\]

Sprawdzenie

Z rysunku kąty \(\alpha\) i \(\beta\) są ostre w tym samym trójkącie prostokątnym, więc są dopełniające. Podstawienie \(\sin\beta=\cos\alpha\) do wyrażenia daje otrzymany wynik.

\[2\cos\alpha-\sin\beta=\cos\alpha\]

Zadanie 15

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Jeżeli \(0^\circ<\alpha<90^\circ\) oraz \(\operatorname{tg}\alpha=2\sin\alpha\), to

\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\)

\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\cos\alpha=1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zamiana tangensa na iloraz

Korzystamy z definicji tangensa, aby otrzymać równanie z sinusem i cosinusem.

\[\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\sin\alpha\]

2 Wyznaczenie cosinusa

Ponieważ kąt jest ostry, \(\sin\alpha>0\) i \(\cos\alpha>0\). Możemy podzielić przez sinus, a następnie pomnożyć przez cosinus.

\[\frac{1}{\cos\alpha}=2\quad\Longrightarrow\quad\cos\alpha=\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\cos\alpha=\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Dla ostrego kąta o cosinusie równym \(\frac{1}{2}\) mamy \(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Wtedy obie strony podanego równania są równe \(\sqrt{3}\).

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sin\alpha\]

Zadanie 16

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

65%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) iloczyn \(\frac{\cos\alpha}{1-\sin^2\alpha}\cdot\frac{1-\cos^2\alpha}{\sin\alpha}\) jest równy

\(\sin\alpha\)

\(\operatorname{tg}\alpha\)

\(\cos\alpha\)

\(\sin^2\alpha\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie tożsamości

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej, aby uprościć oba ułamki.

\[1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha,\qquad 1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\]

2 Skrócenie iloczynu

Dla kąta ostrego sinus i cosinus są dodatnie, więc możemy skrócić ułamki.

\[\frac{\cos\alpha}{\cos^2\alpha}\cdot\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha\]

Odpowiedź

B — tangens kąta α.

\[\operatorname{tg}\alpha\]

Sprawdzenie

Dla kąta ostrego oba pierwotne mianowniki są dodatnie: pierwszy jest równy kwadratowi cosinusa, a drugi sinusowi. Skracanie jest więc dozwolone.

\[1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha>0,\qquad \sin\alpha>0\]

Zadanie 25

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość \(15\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{3}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa

\(15\sqrt{2}\)

\(45\)

\(5\sqrt{2}\)

\(10\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rzut przekątnej

Rzutem przekątnej graniastosłupa na podstawę jest przekątna kwadratu o boku 15. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy jej długość.

\[p=\sqrt{15^2+15^2}=15\sqrt{2}\]

2 Długość przekątnej graniastosłupa

Cosinus kąta nachylenia prostej do płaszczyzny jest stosunkiem długości rzutu do długości tej prostej. Stąd obliczamy przekątną d.

\[\frac{p}{d}=\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{3},\qquad d=\frac{15\sqrt{2}}{\sqrt{2}/3}=45\]

Odpowiedź

Długość przekątnej wynosi 45. Odpowiedź B.

\[d=45\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej długości stosunek przekątnej podstawy do przekątnej graniastosłupa jest równy podanemu cosinusowi kąta.

\[\frac{15\sqrt{2}}{45}=\frac{\sqrt{2}}{3}\]

Zadanie 18

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiona jest prosta \(k\), przechodząca przez punkt \(A=(2,-3)\) i przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt \(\alpha\) nachylenia tej prostej do osi \(Ox\).

Zatem

Układ współrzędnych z prostą k przechodzącą przez początek układu i punkt A=(2,-3). Zaznaczono kąt α nachylenia prostej do osi Ox.

\(\operatorname{tg}\alpha=-\frac{2}{3}\)

\(\operatorname{tg}\alpha=-\frac{3}{2}\)

\(\operatorname{tg}\alpha=\frac{2}{3}\)

\(\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Z dwóch punktów prostej obliczamy iloraz zmiany współrzędnej y i zmiany współrzędnej x.

\[a=\frac{-3-0}{2-0}=-\frac{3}{2}\]

2 Wyznaczenie tangensa kąta

Tangens kąta nachylenia prostej do osi Ox jest równy jej współczynnikowi kierunkowemu.

\[\operatorname{tg}\alpha=a=-\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\operatorname{tg}\alpha=-\frac{3}{2}\]

Sprawdzenie

Prosta ma równanie y=−3x/2, więc dla x=2 otrzymujemy y=−3, zgodnie z położeniem punktu A. Zaznaczony kąt jest rozwarty, zatem jego tangens jest ujemny.

\[-\frac{3}{2}\cdot 2=-3\]

Zadanie 18

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte2 pkt

Trygonometria

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) zaznaczono kąt o mierze \(\alpha\) taki, że \(\operatorname{tg}\alpha=-3\) oraz \(90^\circ<\alpha<180^\circ\) (zobacz rysunek).

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Prawdziwe są zależności: ............ oraz ............ .

Układ współrzędnych z osiami x i y, siatką, zaznaczonym kątem α oraz jego ramieniem w drugiej ćwiartce.

\(\sin\alpha<0\)

\(\sin\alpha\cdot\cos\alpha<0\)

\(\sin\alpha\cdot\cos\alpha>0\)

\(\cos\alpha>0\)

\(\sin\alpha=-\frac{1}{3}\cos\alpha\)

\(\sin\alpha=-3\cos\alpha\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal znaki funkcji

Kąt leży w II ćwiartce, więc sinus jest dodatni, a cosinus ujemny. Ich iloczyn jest zatem ujemny — pasuje odpowiedź B.

\[90^\circ<\alpha<180^\circ\ \Longrightarrow\ \sin\alpha>0,\quad\cos\alpha<0\ \Longrightarrow\ \sin\alpha\cdot\cos\alpha<0\]

2 Skorzystaj z definicji tangensa

Tangens jest ilorazem sinusa i cosinusa. Po pomnożeniu równości przez cosinus otrzymujemy zależność z odpowiedzi F.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-3\ \Longrightarrow\ \sin\alpha=-3\cos\alpha\]

Odpowiedź

Prawidłowe odpowiedzi: B i F.

\[\sin\alpha\cdot\cos\alpha<0,\qquad\sin\alpha=-3\cos\alpha\]

Sprawdzenie

W II ćwiartce cosinus jest ujemny, więc z zależności F sinus jest dodatni. Stąd iloczyn sinusa i cosinusa rzeczywiście jest ujemny.

\[\cos\alpha<0\ \Longrightarrow\ -3\cos\alpha>0\ \Longrightarrow\ \sin\alpha\cdot\cos\alpha<0\]