Zbiór zadań maturalnych

Stereometria — zadania maturalne

Stereometria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

33 zadańStrona 1 z 3

Sortuj:

Zadanie 23

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

87%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest stożek o wysokości 4 i średnicy podstawy 12. Objętość tego stożka jest równa

\(576\pi\)

\(192\pi\)

\(144\pi\)

\(48\pi\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia

Promień podstawy jest połową średnicy.

\[r=\frac{12}{2}=6\]

2 Obliczenie objętości

Objętość stożka to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości.

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot 6^2\cdot 4=48\pi\]

Odpowiedź

Objętość stożka wynosi 48π jednostek sześciennych. Odpowiedź D.

\[V=48\pi\]

Sprawdzenie

Pole podstawy wynosi 36π, a jedna trzecia iloczynu tego pola i wysokości 4 daje 48π.

\[\frac{1}{3}\cdot 36\pi\cdot 4=48\pi\]

Zadanie 22

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

82%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6. Objętość tego stożka jest równa

\(27\pi\sqrt{3}\)

\(9\pi\sqrt{3}\)

\(18\pi\)

\(6\pi\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia i wysokości

Podstawa przekroju osiowego jest średnicą podstawy stożka. Wysokość stożka jest wysokością trójkąta równobocznego.

\[2r=6\Rightarrow r=3,\qquad h=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}\]

2 Obliczenie objętości

Podstawiamy wyznaczone wymiary do wzoru na objętość stożka.

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot 3^2\cdot 3\sqrt{3}=9\pi\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[V=9\pi\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Promień 3 daje średnicę 6, a wysokość przekroju spełnia twierdzenie Pitagorasa dla połowy trójkąta równobocznego.

\[3^2+(3\sqrt{3})^2=9+27=36=6^2\]

Zadanie 25.2

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

80%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku

Graniastosłup sześciokątny. Fioletowe odcinki łączą górny tylny lewy wierzchołek z dolnym przednim prawym oraz dolny lewy skrajny wierzchołek z dolnym przednim prawym. Przy dolnym przednim prawym wierzchołku zaznaczono kąt.

Graniastosłup sześciokątny. Fioletowe odcinki łączą górny prawy skrajny wierzchołek z dolnym przednim lewym oraz dolny przedni lewy wierzchołek z dolnym prawym skrajnym. Przy dolnym przednim lewym wierzchołku zaznaczono kąt.

Graniastosłup sześciokątny. Fioletowy odcinek łączy górny tylny lewy wierzchołek z dolnym przednim prawym. Przy dolnym przednim prawym wierzchołku zaznaczono kąt między tym odcinkiem a przednią krawędzią podstawy.

Graniastosłup sześciokątny. Fioletowe odcinki łączą górny tylny prawy wierzchołek z dolnym przednim lewym oraz dolny przedni lewy wierzchołek z dolnym tylnym prawym. Przy dolnym przednim lewym wierzchołku zaznaczono kąt.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór przekątnej

Najdłuższa przekątna graniastosłupa łączy wierzchołek górnej podstawy z wierzchołkiem dolnej podstawy leżącym naprzeciwko jego rzutu. Jej rzutem na podstawę jest najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego.

\[d_{\text{rzutu}}=2a\]

2 Wyznaczenie kąta

Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny jest kątem między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę. Na rysunku D oba ramiona kąta są zaznaczone w ten sposób.

\[\alpha=\angle(\text{przekątna graniastosłupa},\text{jej rzut na podstawę})\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\boxed{D}\]

Sprawdzenie

Na rysunku D górny koniec fioletowej przekątnej rzutuje się pionowo na dolny tylny prawy wierzchołek. Łączący go z dolnym przednim lewym wierzchołkiem fioletowy odcinek jest najdłuższą przekątną podstawy, więc zaznaczony kąt jest właściwy.

Zadanie 29

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

79%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby \(W\) wszystkich wierzchołków do liczby \(K\) wszystkich krawędzi jest równy \(\frac{W}{K}=\frac{3}{5}\).

Podstawą tego ostrosłupa jest

kwadrat.

pięciokąt foremny.

sześciokąt foremny.

siedmiokąt foremny.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policzenie wierzchołków i krawędzi

Jeśli podstawa ma n boków, ostrosłup ma n wierzchołków podstawy i jeden wierzchołek górny oraz po n krawędzi podstawy i krawędzi bocznych.

\[W=n+1,\qquad K=2n\]

2 Wyznaczenie liczby boków podstawy

Podstawiamy te liczby do podanego stosunku i rozwiązujemy równanie.

\[\frac{n+1}{2n}=\frac35\quad\Longrightarrow\quad 5(n+1)=6n\quad\Longrightarrow\quad n=5\]

Odpowiedź

B. Pięciokąt foremny.

\[n=5\]

Sprawdzenie

Dla pięciokąta ostrosłup ma 6 wierzchołków i 10 krawędzi, więc podany stosunek się zgadza.

\[\frac{W}{K}=\frac{6}{10}=\frac35\]

Zadanie 22

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

76%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Promień \(AS\) podstawy walca jest równy wysokości \(OS\) tego walca. Sinus kąta \(OAS\) (zobacz rysunek) jest równy

Walec z oznaczonymi punktami O, S i A oraz odcinkami OS, SA i OA

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{1}{2}\)

\(1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie trójkąta

Wysokość walca jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, więc trójkąt \(OAS\) jest prostokątny w punkcie \(S\). Oznaczamy równe odcinki przez \(r>0\).

\[OS\perp AS,\qquad OS=AS=r\]

2 Obliczenie sinusa

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przeciwprostokątną. Następnie dzielimy przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta \(OAS\) przez przeciwprostokątną.

\[OA=\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt{2},\qquad \sin\angle OAS=\frac{OS}{OA}=\frac{r}{r\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\sin\angle OAS=\frac{\sqrt{2}}{2}\]

Sprawdzenie

Równe przyprostokątne dają dwa kąty ostre po \(45^\circ\), a sinus takiego kąta wynosi \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

\[\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\]

Zadanie 22

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

75%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Promień kuli i promień podstawy stożka są równe \(4\). Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa

\(8\)

\(4\)

\(16\)

\(12\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole kuli

Podstawiamy promień 4 do wzoru na pole powierzchni kuli.

\[P_k=4\pi r^2=4\pi\cdot4^2=64\pi\]

2 Pole stożka

Pole całkowite stożka to suma pola podstawy i pola bocznego. Przyrównujemy je do pola kuli.

\[\pi\cdot4^2+\pi\cdot4\cdot l=64\pi\]

3 Obliczenie tworzącej

Dzielimy równanie przez \(4\pi\) i wyznaczamy \(l\).

\[16\pi+4\pi l=64\pi\;\Rightarrow\;4+l=16\;\Rightarrow\;l=12\]

Odpowiedź

Długość tworzącej wynosi 12. Odpowiedź D.

\[l=12\]

Sprawdzenie

Dla tworzącej 12 pole całkowite stożka wynosi \(16\pi+48\pi=64\pi\), czyli tyle samo co pole kuli. Ponadto \(12>4\), więc stożek o takim promieniu i tworzącej może istnieć.

\[P_c=\pi\cdot4^2+\pi\cdot4\cdot12=64\pi=P_k\]

Zadanie 21

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(EFGHIJKL\) wierzchołki \(E\), \(G\), \(L\) połączono odcinkami (tak jak na rysunku).

Wskaż kąt między wysokością \(OL\) trójkąta \(EGL\) i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.

Rysunek graniastosłupa prawidłowego czworokątnego EFGHIJKL z odcinkami EG, EL i GL oraz punktem O na odcinku EG.

\(\angle HOL\)

\(\angle OGL\)

\(\angle HLO\)

\(\angle OHL\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rzutu odcinka

W graniastosłupie prawidłowym krawędź \(LH\) jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, więc rzutem punktu \(L\) na tę płaszczyznę jest \(H\). Punkt \(O\) leży na przekątnej podstawy \(EG\), zatem jego rzutem jest on sam. Rzutem odcinka \(OL\) jest więc \(OH\).

\[L\mapsto H,\quad O\mapsto O,\quad OL\mapsto OH\]

2 Wskazanie kąta

Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę.

\[\angle(OL,\text{płaszczyzna podstawy})=\angle HOL\]

Odpowiedź

A — kąt HOL.

\[\boxed{\angle HOL}\]

Sprawdzenie

Oba ramiona kąta wychodzą z punktu O: OL jest wskazaną wysokością trójkąta, a OH leży w podstawie i jest rzutem OL. Kąt HOL spełnia więc definicję szukanego kąta.

\[LH\perp(EFGH),\quad OH\subset(EFGH)\]

Zadanie 25

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

73%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości \(7\) cm i \(10\) cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o \(2\) cm. Wtedy objętość graniastosłupa jest równa

\(560\ \mathrm{cm}^3\)

\(280\ \mathrm{cm}^3\)

\(\frac{280}{3}\ \mathrm{cm}^3\)

\(\frac{560}{3}\ \mathrm{cm}^3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola podstawy

Pole rombu jest równe połowie iloczynu długości jego przekątnych.

\[P=\frac{7\cdot 10}{2}=35\ \mathrm{cm}^2\]

2 Obliczenie wysokości

Dłuższa przekątna ma 10 cm, a wysokość jest od niej krótsza o 2 cm.

\[H=10-2=8\ \mathrm{cm}\]

3 Obliczenie objętości

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości.

\[V=P\cdot H=35\cdot 8=280\ \mathrm{cm}^3\]

Odpowiedź

B. Objętość wynosi 280 cm³.

\[V=280\ \mathrm{cm}^3\]

Sprawdzenie

Wysokość 8 cm jest o 2 cm krótsza od przekątnej 10 cm. Jednostka iloczynu pola podstawy i wysokości to cm³.

\[10-8=2\ \mathrm{cm},\qquad 35\ \mathrm{cm}^2\cdot 8\ \mathrm{cm}=280\ \mathrm{cm}^3\]

Zadanie 21

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

73%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary \(5\,\mathrm{dm}\times 3\,\mathrm{dm}\times 2\,\mathrm{dm}\) (zobacz rysunek).

Przekątna \(KL\) tego prostopadłościanu jest – z dokładnością do \(0{,}01\,\mathrm{dm}\) – równa

Prostopadłościan z wierzchołkami K i L oraz wymiarami 5 dm, 3 dm i 2 dm

\(5{,}83\,\mathrm{dm}\)

\(6{,}16\,\mathrm{dm}\)

\(3{,}61\,\mathrm{dm}\)

\(5{,}39\,\mathrm{dm}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekątna podstawy

Podstawa jest prostokątem o bokach 5 dm i 3 dm, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[d^2=5^2+3^2=34\,\mathrm{dm}^2\]

2 Przekątna prostopadłościanu

Przekątna podstawy i wysokość 2 dm tworzą z przekątną KL trójkąt prostokątny.

\[KL^2=d^2+2^2=34+4=38\,\mathrm{dm}^2,\qquad KL=\sqrt{38}\,\mathrm{dm}\approx6{,}16\,\mathrm{dm}\]

Odpowiedź

B. Przekątna KL ma długość 6,16 dm z dokładnością do 0,01 dm.

\[KL\approx6{,}16\,\mathrm{dm}\]

Sprawdzenie

Ponieważ 6,155² = 37,884025 < 38 < 38,007225 = 6,165², liczba √38 zaokrągla się do 6,16.

\[6{,}155<\sqrt{38}<6{,}165\]

Zadanie 25.1

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa \(6\) (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe \(15\sqrt{3}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Rysunek graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego z krawędzią boczną oznaczoną liczbą 6.

\(36\sqrt{10}\)

\(60\)

\(6\sqrt{10}\)

\(360\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie boku podstawy

Podstawa składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku \(a\), więc jej pole wynosi \(\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\). Podstawiamy dane i obliczamy \(a\).

\[\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=15\sqrt{3}\quad\Rightarrow\quad a^2=10\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{10}\]

2 Pole ściany bocznej

Ściana boczna jest prostokątem o bokach \(a\) i \(6\), zatem mnożymy ich długości.

\[P=a\cdot 6=6\sqrt{10}\]

Odpowiedź

C. Pole jednej ściany bocznej wynosi \(6\sqrt{10}\).

\[6\sqrt{10}\]

Sprawdzenie

Dla boku \(\sqrt{10}\) wzór na pole sześciokąta daje dokładnie podane pole podstawy.

\[\frac{3\sqrt{3}}{2}(\sqrt{10})^2=15\sqrt{3}\]

Zadanie 25

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

69%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy \(3:2\). Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa \(12\ \mathrm{cm}^{3}\).

Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa

Dwa stożki połączone podstawami; zaznaczono promień r wspólnej podstawy.

\(20\ \mathrm{cm}^{3}\)

\(30\ \mathrm{cm}^{3}\)

\(39\ \mathrm{cm}^{3}\)

\(52{,}5\ \mathrm{cm}^{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie objętości

Stożki mają takie same podstawy, więc ze wzoru na objętość stożka wynika, że ich objętości są proporcjonalne do wysokości.

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h,\qquad V_{\text{wyższego}}:V_{\text{niższego}}=3:2\]

2 Obliczenie objętości bryły

Objętość niższego stożka, równa \(12\ \mathrm{cm}^3\), odpowiada dwóm częściom stosunku. Obliczamy objętość wyższego stożka i dodajemy obie objętości.

\[V_{\text{wyższego}}=12\cdot\frac{3}{2}=18\ \mathrm{cm}^3,\qquad V_{\text{bryły}}=18+12=30\ \mathrm{cm}^3\]

Odpowiedź

B. Objętość bryły wynosi 30 cm³.

\[V_{\text{bryły}}=30\ \mathrm{cm}^3\]

Sprawdzenie

Obliczone objętości mają wymagany stosunek 3:2, a ich suma wynosi 30 cm³.

\[18:12=3:2,\qquad 18+12=30\]

Zadanie 23

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

68%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120^\circ\), a tworząca tego stożka ma długość \(4\). Objętość tego stożka jest równa

\(36\pi\)

\(18\pi\)

\(24\pi\)

\(8\pi\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia i wysokości

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Wysokość dzieli kąt rozwarcia na dwa kąty po 60°, więc korzystamy z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym.

\[r=4\sin 60^\circ=2\sqrt{3},\qquad h=4\cos 60^\circ=2\]

2 Obliczenie objętości

Podstawiamy promień i wysokość do wzoru na objętość stożka.

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi(2\sqrt{3})^2\cdot 2=8\pi\]

Odpowiedź

Objętość wynosi \(8\pi\). Odpowiedź D.

\[V=8\pi\]

Sprawdzenie

Promień i wysokość spełniają twierdzenie Pitagorasa dla tworzącej długości 4, a wynik odpowiada opcji D.

\[(2\sqrt{3})^2+2^2=12+4=16=4^2\]

Zadanie 21

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

66%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości \(3\) i \(4\). Kąt \(\alpha\), jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy \(45^\circ\) (zobacz rysunek).

Wysokość graniastosłupa jest równa

Graniastosłup prosty o podstawie prostokątnej z bokami oznaczonymi 4 i 3; zaznaczono przekątną graniastosłupa oraz kąt α z podstawą.

\(5\)

\(3\sqrt{2}\)

\(5\sqrt{2}\)

\(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekątna podstawy

Podstawa jest prostokątem, więc jej przekątną obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

\[d=\sqrt{3^2+4^2}=5\]

2 Wysokość graniastosłupa

Rzut przekątnej graniastosłupa na podstawę ma długość \(d\). W powstałym trójkącie prostokątnym tangens kąta \(\alpha\) jest stosunkiem wysokości do \(d\).

\[\tan 45^\circ=\frac{h}{d}=\frac{h}{5},\quad 1=\frac{h}{5},\quad h=5\]

Odpowiedź

Wysokość graniastosłupa wynosi 5. Odpowiedź A.

\[h=5\]

Sprawdzenie

Dla wysokości 5 stosunek wysokości do przekątnej podstawy wynosi 1, więc kąt przekątnej graniastosłupa z podstawą ma 45°.

\[\tan\alpha=\frac{5}{\sqrt{3^2+4^2}}=1=\tan45^\circ\]

Zadanie 23

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

66%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

\(\frac{8^2}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right)\)

\(8^2\cdot\sqrt{3}\)

\(\frac{8^2\sqrt{6}}{3}\)

\(8^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole podstaw

Podstawy są trójkątami równobocznymi o boku 8, więc korzystamy ze wzoru na ich pole.

\[2P_p=2\cdot\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=32\sqrt{3}\]

2 Pole boczne

Trzy ściany boczne są kwadratami o boku 8.

\[P_b=3\cdot8^2=192\]

3 Pole całkowite

Dodajemy pola obu podstaw i ścian bocznych, a następnie porównujemy wynik z odpowiedziami.

\[P_c=32\sqrt{3}+192=8^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right)\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[P_c=8^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right)\]

Sprawdzenie

Wynik zawiera pole trzech kwadratowych ścian bocznych oraz dwóch trójkątnych podstaw; oba składniki mają jednostkę pola.

\[8^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right)=32\sqrt{3}+192\]

Zadanie 24

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

65%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Przekątna sześcianu ma długość \(4\sqrt{3}\). Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

\(96\)

\(24\sqrt{3}\)

\(192\)

\(16\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie krawędzi

Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(a\sqrt{3}\). Podstawiamy podaną długość i dzielimy przez \(\sqrt{3}\).

\[a\sqrt{3}=4\sqrt{3}\quad\Rightarrow\quad a=4\]

2 Obliczenie pola

Sześcian ma sześć kwadratowych ścian o boku \(a\), więc sumujemy ich pola.

\[P=6a^2=6\cdot4^2=96\]

Odpowiedź

Pole powierzchni wynosi 96. Odpowiedź A.

\[P=96\]

Sprawdzenie

Dla krawędzi 4 przekątna ma długość \(4\sqrt{3}\), zgodną z treścią zadania.

\[d=a\sqrt{3}=4\sqrt{3}\]