Zamknięte1 pkt
Stereometria
75%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Promień kuli i promień podstawy stożka są równe \(4\). Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa
A
\(8\)
B
\(4\)
C
\(16\)
D
\(12\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Pole kuli
Podstawiamy promień 4 do wzoru na pole powierzchni kuli.
\[P_k=4\pi r^2=4\pi\cdot4^2=64\pi\]
2 Pole stożka
Pole całkowite stożka to suma pola podstawy i pola bocznego. Przyrównujemy je do pola kuli.
\[\pi\cdot4^2+\pi\cdot4\cdot l=64\pi\]
3 Obliczenie tworzącej
Dzielimy równanie przez \(4\pi\) i wyznaczamy \(l\).
\[16\pi+4\pi l=64\pi\;\Rightarrow\;4+l=16\;\Rightarrow\;l=12\]
Odpowiedź
Długość tworzącej wynosi 12. Odpowiedź D.
\[l=12\]
Sprawdzenie
Dla tworzącej 12 pole całkowite stożka wynosi \(16\pi+48\pi=64\pi\), czyli tyle samo co pole kuli. Ponadto \(12>4\), więc stożek o takim promieniu i tworzącej może istnieć.
\[P_c=\pi\cdot4^2+\pi\cdot4\cdot12=64\pi=P_k\]