Matematyka — matura 2019

Liczba \(\log_{\sqrt{2}} 2\) jest równa

Liczba naturalna \(n=2^{14}\cdot 5^{15}\) w zapisie dziesiętnym ma

W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o

Równość \(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{a}=1\) jest prawdziwa dla

Para liczb \(x=2\) i \(y=2\) jest rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}ax+y=4\\-2x+3y=2a\end{cases}\) dla

Równanie \(\frac{(x-1)(x+2)}{x-3}=0\)

Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=3(x+1)-6\sqrt{3}\) jest liczba

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,-4)\). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji \(f\).

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,-4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).

Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 1,4\rangle\) jest równa

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,-4)\). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji \(f\).

Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), dane są dwa wyrazy: \(a_1=7\) i \(a_8=-49\). Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek \(\frac{a_5}{a_3}=\frac{1}{9}\). Iloraz tego ciągu jest równy

Sinus kąta ostrego \(\alpha\) jest równy \(\frac{4}{5}\). Wtedy

Punkty \(D\) i \(E\) leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym \(ABC\) (zobacz rysunek). Odcinek \(CD\) jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany \(DEB\) ma miarę \(\alpha\).

Zatem

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(5\) oraz okrąg o środku w punkcie \(P\) i promieniu \(3\). Odcinek \(OP\) ma długość \(16\). Prosta \(AB\) jest styczna do tych okręgów w punktach \(A\) i \(B\). Ponadto prosta \(AB\) przecina odcinek \(OP\) w punkcie \(K\) (zobacz rysunek).

Wtedy

Dany jest romb o boku długości \(4\) i kącie rozwartym \(150^\circ\). Pole tego rombu jest równe

Proste o równaniach \(y=(2m+2)x-2019\) oraz \(y=(3m-3)x+2019\) są równoległe, gdy

Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest prostopadła do prostej o równaniu \(y=-4x+1\) i przechodzi przez punkt \(P=\left(\frac{1}{2},0\right)\), gdy

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej \(f\). Na wykresie tej funkcji leżą punkty \(A=(0,4)\) i \(B=(2,2)\).

Obrazem prostej \(AB\) w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji \(g\) określonej wzorem

Dane są punkty o współrzędnych \(A=(-2,5)\) oraz \(B=(4,-1)\). Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku \(AB\) jest równa

Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary \(5\,\mathrm{dm}\times 3\,\mathrm{dm}\times 2\,\mathrm{dm}\) (zobacz rysunek).

Przekątna \(KL\) tego prostopadłościanu jest – z dokładnością do \(0{,}01\,\mathrm{dm}\) – równa

Promień kuli i promień podstawy stożka są równe \(4\). Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa

Mediana zestawu sześciu danych liczb: \(4, 8, 21, a, 16, 25\), jest równa \(14\). Zatem

Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry \(0, 2, 5\), jest

W pudełku jest \(40\) kul. Wśród nich jest \(35\) kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe

Rozwiąż równanie \((x^3-8)(x^2-4x-5)=0\).

Rozwiąż nierówność \(3x^2-16x+16>0\).

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(3a^2-2ab+3b^2\geq 0\).

Dany jest okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(r\). Na przedłużeniu cięciwy \(AB\) poza punkt \(B\) odłożono odcinek \(BC\) równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty \(C\) i \(S\) poprowadzono prostą. Prosta \(CS\) przecina dany okrąg w punktach \(D\) i \(E\) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta \(ACS\) jest równa \(\alpha\), to miara kąta \(ASD\) jest równa \(3\alpha\).

Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.

W trapezie prostokątnym \(ABCD\) dłuższa podstawa \(AB\) ma długość \(8\). Przekątna \(AC\) tego trapezu ma długość \(4\) i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze \(30^\circ\) (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej \(BD\) tego trapezu.

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\). Różnica tego ciągu jest liczbą \(r=-4\), a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\), jest równa \(16\).

a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\). Różnica tego ciągu jest liczbą \(r=-4\), a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\), jest równa 16.

Oblicz liczbę \(k\), dla której \(a_k=-78\).

Dany jest punkt \(A=(-18,10)\). Prosta o równaniu \(y=3x\) jest symetralną odcinka \(AB\). Wyznacz współrzędne punktu \(B\).

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt \(\alpha\) jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta \(\alpha\).