Zamknięte1 pkt
Planimetria
62%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(5\) oraz okrąg o środku w punkcie \(P\) i promieniu \(3\). Odcinek \(OP\) ma długość \(16\). Prosta \(AB\) jest styczna do tych okręgów w punktach \(A\) i \(B\). Ponadto prosta \(AB\) przecina odcinek \(OP\) w punkcie \(K\) (zobacz rysunek).
Wtedy
A
\(|OK|=6\)
B
\(|OK|=8\)
C
\(|OK|=10\)
D
\(|OK|=12\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Podobieństwo trójkątów
Promienie poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do prostej AB. Trójkąty OAK i PBK są więc prostokątne, a ich kąty przy K są wierzchołkowe. Z podobieństwa otrzymujemy proporcję odpowiednich boków.
\[\frac{|OK|}{|KP|}=\frac{|OA|}{|PB|}=\frac{5}{3}\]
2 Obliczenie długości OK
Ponieważ K leży na odcinku OP, mamy |KP|=16−|OK|. Podstawiamy tę długość do proporcji i rozwiązujemy równanie.
\[\frac{|OK|}{16-|OK|}=\frac{5}{3}\quad\Longrightarrow\quad 3|OK|=80-5|OK|\quad\Longrightarrow\quad |OK|=10\]
Odpowiedź
Odpowiedź C: |OK|=10.
\[|OK|=10\]
Sprawdzenie
Wówczas |KP|=16−10=6, a 10:6=5:3, zgodnie z proporcją wynikającą z podobieństwa.
\[|KP|=6,\qquad \frac{|OK|}{|KP|}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}\]