Otwarte
Ciągi
58%średni wynik CKE · całe zadanie
Średni procent zdobytych punktów. Dotyczy całego zadania 32, nie tylko tego podpunktu. Raport CKE ↗
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\). Różnica tego ciągu jest liczbą \(r=-4\), a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\), jest równa 16.
Oblicz liczbę \(k\), dla której \(a_k=-78\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie pierwszego wyrazu
Średnia sześciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest średnią pierwszego i szóstego wyrazu. Ponieważ różnica wynosi −4, szósty wyraz to pierwszy pomniejszony o 20.
\[a_6=a_1+5\cdot(-4)=a_1-20,\qquad \frac{a_1+a_6}{2}=16\quad\Rightarrow\quad a_1=26\]
2 Wyznaczenie numeru wyrazu
Podstawiamy pierwszy wyraz i różnicę do wzoru na k-ty wyraz, a następnie rozwiązujemy równanie.
\[a_k=a_1+(k-1)r=26-4(k-1)=-78\quad\Rightarrow\quad 30-4k=-78\quad\Rightarrow\quad k=27\]
Odpowiedź
Szukana liczba to 27.
\[k=27\]
Sprawdzenie
Pierwsze sześć wyrazów ma średnią 16, a wyraz o numerze 27 jest równy −78. Numer 27 jest liczbą naturalną większą od zera.
\[\frac{26+22+18+14+10+6}{6}=16,\qquad a_{27}=26+26\cdot(-4)=-78\]