Otwarte
Ciągi
58%średni wynik CKE · całe zadanie
Średni procent zdobytych punktów. Dotyczy całego zadania 32, nie tylko tego podpunktu. Raport CKE ↗
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\). Różnica tego ciągu jest liczbą \(r=-4\), a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\), jest równa \(16\).
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisanie średniej
Średnia sześciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa średniej pierwszego i szóstego wyrazu.
\[\frac{a_1+a_6}{2}=16\]
2 Obliczenie pierwszego wyrazu
Szósty wyraz otrzymujemy, dodając do pierwszego pięć razy różnicę ciągu, czyli \(a_6=a_1+5\cdot(-4)=a_1-20\). Podstawiamy tę zależność do równania średniej.
\[\frac{a_1+(a_1-20)}{2}=16\quad\Longrightarrow\quad a_1-10=16\quad\Longrightarrow\quad a_1=26\]
Odpowiedź
Pierwszy wyraz ciągu wynosi 26.
\[a_1=26\]
Sprawdzenie
Pierwszych sześć wyrazów to 26, 22, 18, 14, 10, 6. Ich średnia wynosi 16, a różnica kolejnych wyrazów wynosi −4.
\[\frac{26+22+18+14+10+6}{6}=\frac{96}{6}=16\]