Otwarte2 pkt
59%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
W trapezie prostokątnym \(ABCD\) dłuższa podstawa \(AB\) ma długość \(8\). Przekątna \(AC\) tego trapezu ma długość \(4\) i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze \(30^\circ\) (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej \(BD\) tego trapezu.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie wysokości
Podstawy trapezu są równoległe, więc przekątna AC tworzy z poziomem kąt 30°. Wysokość AD jest przyprostokątną naprzeciw tego kąta.
\[AD=AC\sin 30^\circ=4\cdot\frac12=2\]
2 Obliczenie przekątnej BD
Trójkąt ABD jest prostokątny, dlatego stosujemy twierdzenie Pitagorasa.
\[BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+2^2}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}\]
Odpowiedź
Długość przekątnej BD wynosi 2√17.
\[BD=2\sqrt{17}\]
Sprawdzenie
Kwadrat otrzymanej długości wynosi 68, czyli jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych 8 i 2. Ponadto wysokość 2 spełnia warunek 2/4 = sin 30°.
\[(2\sqrt{17})^2=68=8^2+2^2,\qquad \frac{2}{4}=\sin 30^\circ\]