Otwarte4 pkt
Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej
24%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Dany jest punkt \(A=(-18,10)\). Prosta o równaniu \(y=3x\) jest symetralną odcinka \(AB\). Wyznacz współrzędne punktu \(B\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Warunek dla środka odcinka
Symetralna przechodzi przez środek odcinka. Oznaczamy \(B=(u,v)\) i podstawiamy współrzędne środka do równania \(y=3x\).
\[M=\left(\frac{u-18}{2},\frac{v+10}{2}\right),\quad \frac{v+10}{2}=3\cdot\frac{u-18}{2},\quad v=3u-64\]
2 Warunek prostopadłości
Odcinek \(AB\) jest prostopadły do prostej \(y=3x\). Wektor kierunkowy tej prostej to \((1,3)\), więc jego iloczyn skalarny z wektorem \(\overrightarrow{AB}\) jest równy zeru.
\[(u+18,v-10)\cdot(1,3)=0,\quad u+3v-12=0\]
3 Wyznaczenie współrzędnych
Podstawiamy pierwszą zależność do drugiej i obliczamy obie współrzędne punktu \(B\).
\[u+3(3u-64)-12=0,\quad 10u=204,\quad u=\frac{102}{5},\quad v=3\cdot\frac{102}{5}-64=-\frac{14}{5}\]
Odpowiedź
Punkt B ma współrzędne \(\left(\frac{102}{5},-\frac{14}{5}\right)\).
\[B=\left(\frac{102}{5},-\frac{14}{5}\right)\]
Sprawdzenie
Środek odcinka leży na prostej \(y=3x\), a odcinek \(AB\) jest do niej prostopadły. Zatem ta prosta rzeczywiście jest symetralną odcinka \(AB\).
\[M=\left(\frac65,\frac{18}{5}\right),\quad \frac{18}{5}=3\cdot\frac65,\quad \overrightarrow{AB}\cdot(1,3)=\left(\frac{192}{5},-\frac{64}{5}\right)\cdot(1,3)=0\]