Zadanie 34 — matura 2019, maj | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

45%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt \(\alpha\) jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta \(\alpha\).

Ostrosłup prawidłowy czworokątny o wierzchołku S i podstawie ABCD. Krawędzie AB i BC oznaczono liczbą 6; przy wierzchołku A zaznaczono kąt α.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola ścian bocznych

Pole podstawy wynosi 36, a pole całkowite 144. Odejmujemy pole podstawy i dzielimy wynik przez cztery jednakowe ściany boczne.

\[P_p=6^2=36,\qquad P_b=4\cdot36-36=108,\qquad P_{\triangle SAB}=\frac{108}{4}=27\]

2 Wyznaczenie wysokości ostrosłupa

Niech O będzie środkiem podstawy, a M środkiem boku AB. Wysokość ściany bocznej SM obliczamy z jej pola. Następnie stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SOM.

\[27=\frac{1}{2}\cdot6\cdot SM\Rightarrow SM=9,\qquad OM=3,\qquad SO^2=SM^2-OM^2=9^2-3^2=72\]

3 Obliczenie cosinusa kąta

Rzutem krawędzi AS na podstawę jest AO, więc \(\alpha=\angle SAO\). Połowa przekątnej kwadratu ma długość \(AO=3\sqrt2\). Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy AS, a następnie cosinus w trójkącie prostokątnym ASO.

\[AO=\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2,\qquad AS=\sqrt{SO^2+AO^2}=\sqrt{72+18}=3\sqrt{10},\qquad \cos\alpha=\frac{AO}{AS}=\frac{3\sqrt2}{3\sqrt{10}}=\frac{\sqrt5}{5}\]

Odpowiedź

Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do podstawy wynosi \(\frac{\sqrt5}{5}\).

\[\cos\alpha=\frac{\sqrt5}{5}\]

Sprawdzenie

W trójkącie ASO zachodzi \(AO^2+SO^2=18+72=90=AS^2\). Otrzymany cosinus należy do przedziału \((0,1)\), zgodnie z ostrym kątem nachylenia.

\[(3\sqrt2)^2+(6\sqrt2)^2=(3\sqrt{10})^2,\qquad 0<\frac{\sqrt5}{5}<1\]