Otwarte2 pkt
Równania i nierówności
74%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Rozwiąż równanie \((x^3-8)(x^2-4x-5)=0\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego
Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.
\[x^3-8=0\quad\text{lub}\quad x^2-4x-5=0\]
2 Rozwiązanie pierwszego równania
Jedyną liczbą rzeczywistą, której sześcian wynosi 8, jest 2.
\[x^3=8\quad\Longrightarrow\quad x=2\]
3 Rozwiązanie drugiego równania
Rozkładamy trójmian na czynniki i ponownie stosujemy zasadę iloczynu zerowego.
\[x^2-4x-5=(x-5)(x+1)=0\quad\Longrightarrow\quad x=5\ \text{lub}\ x=-1\]
Odpowiedź
Rozwiązaniami równania są −1, 2 i 5.
\[x\in\{-1,2,5\}\]
Sprawdzenie
Dla −1 i 5 drugi czynnik równania wynosi zero, a dla 2 pierwszy czynnik wynosi zero. Każda z tych liczb spełnia więc równanie; rozpatrzenie obu czynników daje wszystkie rozwiązania.
\[(-1)^2-4(-1)-5=0,\quad 2^3-8=0,\quad 5^2-4\cdot5-5=0\]