Otwarte2 pkt
Równania i nierówności
76%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Rozwiąż nierówność \(3x^2-16x+16>0\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie miejsc zerowych
Miejsca zerowe dzielą oś liczbową na przedziały, w których trójmian ma stały znak. Obliczamy je ze wzoru kwadratowego.
\[\Delta=(-16)^2-4\cdot3\cdot16=64,\quad x_1=\frac{16-8}{6}=\frac43,\quad x_2=\frac{16+8}{6}=4\]
2 Ustalenie znaku
Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc trójmian jest dodatni poza miejscami zerowymi. Nierówność jest ostra, dlatego końce przedziałów wykluczamy.
\[3x^2-16x+16>0\iff x<\frac43\ \text{lub}\ x>4\]
Odpowiedź
Rozwiązaniem jest suma przedziałów od minus nieskończoności do 4/3 oraz od 4 do plus nieskończoności, bez końców.
\[x\in\left(-\infty,\frac43\right)\cup(4,\infty)\]
Sprawdzenie
Dla x = 0 i x = 5 trójmian jest dodatni, a dla x = 2 ujemny. W obu miejscach zerowych ma wartość 0, więc ich wykluczenie jest konieczne.
\[f(0)=16>0,\quad f(2)=-4<0,\quad f(5)=11>0,\quad f\left(\frac43\right)=f(4)=0\]