Otwarte2 pkt
Wyrażenia algebraiczne
20%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(3a^2-2ab+3b^2\geq 0\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisanie jako sumy kwadratów
Szukamy postaci, w której każdy składnik jest nieujemny.
\[3a^2-2ab+3b^2=(a-b)^2+2a^2+2b^2\]
2 Wykazanie nierówności
Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc suma po prawej stronie jest nieujemna.
\[(a-b)^2+2a^2+2b^2\geq 0\]
Odpowiedź
Nierówność zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\). Równość występuje tylko dla \(a=b=0\).
\[3a^2-2ab+3b^2\geq 0\]
Sprawdzenie
Po rozwinięciu kwadratu otrzymujemy wyjściowe wyrażenie. Suma składników nieujemnych jest zerem dokładnie wtedy, gdy \(a=b=0\).
\[(a-b)^2+2a^2+2b^2=a^2-2ab+b^2+2a^2+2b^2=3a^2-2ab+3b^2\]