Zadanie 29 — matura 2019, maj | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

19%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(r\). Na przedłużeniu cięciwy \(AB\) poza punkt \(B\) odłożono odcinek \(BC\) równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty \(C\) i \(S\) poprowadzono prostą. Prosta \(CS\) przecina dany okrąg w punktach \(D\) i \(E\) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta \(ACS\) jest równa \(\alpha\), to miara kąta \(ASD\) jest równa \(3\alpha\).

Okrąg o środku S; cięciwa AB przedłużona przez B do C; prosta przez C i S przecina okrąg w D i E. Zaznaczono odcinki AS, SB oraz cztery oznaczenia r.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąty w trójkącie BCS

Odcinki BC i BS mają długość r, więc trójkąt BCS jest równoramienny. Kąty przy podstawie CS są równe.

\[\angle BCS=\angle BSC=\alpha\]

2 Kąt przy wierzchołku B

Obliczamy trzeci kąt trójkąta BCS, a następnie korzystamy z tego, że punkty A, B, C leżą na jednej prostej.

\[\angle SBC=180^\circ-2\alpha,\qquad \angle ABS=180^\circ-\angle SBC=2\alpha\]

3 Kąt przy wierzchołku A

Ponieważ AS=BS=r, trójkąt ASB jest równoramienny. Zatem kąt przy A jest równy kątowi przy B. Półproste AB i AC mają ten sam kierunek.

\[\angle SAC=\angle SAB=\angle ABS=2\alpha\]

4 Szukany kąt

Z sumy kątów trójkąta ASC obliczamy kąt przy S. Półproste SC i SD są przeciwne, więc kąty ASC i ASD sumują się do kąta półpełnego.

\[\angle ASC=180^\circ-2\alpha-\alpha=180^\circ-3\alpha,\qquad \angle ASD=180^\circ-\angle ASC=3\alpha\]

Odpowiedź

Miara kąta ASD wynosi 3α.

\[\angle ASD=3\alpha\]

Sprawdzenie

Z trójkąta ASB wynika 4α<180°, więc 0°<3α<135°. Otrzymana miara jest dodatnia i odpowiada kątowi ASD na rysunku.

\[2\alpha+2\alpha+\angle ASB=180^\circ\;\Longrightarrow\;0^\circ<\alpha<45^\circ\]