Zamknięte1 pkt
Ciągi
67%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek \(\frac{a_5}{a_3}=\frac{1}{9}\). Iloraz tego ciągu jest równy
A
\(\frac{1}{3}\)
B
\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
C
\(3\)
D
\(\sqrt{3}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisz iloraz wyrazów
W ciągu geometrycznym przejście od trzeciego do piątego wyrazu oznacza dwukrotne pomnożenie przez iloraz q.
\[a_5=a_3q^2,\qquad \frac{a_5}{a_3}=q^2=\frac{1}{9}\]
2 Wyznacz iloraz
Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc iloraz q też jest dodatni. Wybieramy dodatni pierwiastek.
\[q=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}\]
Odpowiedź
Iloraz ciągu wynosi 1/3. Odpowiedź A.
\[q=\frac{1}{3}\]
Sprawdzenie
Dla q = 1/3 iloraz piątego i trzeciego wyrazu wynosi 1/9, a dodatni iloraz zachowuje dodatniość wyrazów.
\[\frac{a_5}{a_3}=q^2=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}\]