Zamknięte1 pkt
Funkcje
67%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,-4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 1,4\rangle\) jest równa
A
\(-3\)
B
\(-4\)
C
\(4\)
D
\(0\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie wzoru funkcji
Miejsca zerowe pozwalają zapisać funkcję w postaci iloczynowej. Podstawiamy współrzędne wierzchołka, aby obliczyć współczynnik.
\[f(x)=a x(x-4),\qquad -4=f(2)=a\cdot2\cdot(-2)=-4a,\qquad a=1.\]
2 Wyznaczenie największej wartości
Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc na przedziale domkniętym największą wartość przyjmuje na jednym z końców. Obliczamy obie wartości.
\[f(1)=1\cdot(1-4)=-3,\qquad f(4)=4\cdot(4-4)=0,\qquad \max_{x\in[1,4]}f(x)=0.\]
Odpowiedź
Największa wartość wynosi 0. Odpowiedź D.
\[\boxed{0}\]
Sprawdzenie
Dla liczb od 1 do 4 czynnik x jest dodatni, a czynnik x−4 niedodatni, więc f(x)≤0. W punkcie x=4 funkcja osiąga 0.
\[1\le x\le4\ \Longrightarrow\ x>0\ \land\ x-4\le0\ \Longrightarrow\ f(x)=x(x-4)\le0,\qquad f(4)=0.\]