Zbiór zadań maturalnych

Kombinatoryka — zadania maturalne

Kombinatoryka: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

11 zadańStrona 1 z 1

Sortuj:

Zadanie 27

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

88%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby \(W\) wszystkich wierzchołków do liczby \(K\) wszystkich krawędzi jest równy \(\frac{W}{K}=\frac{3}{5}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Podstawą tego ostrosłupa jest

kwadrat.

pięciokąt foremny.

sześciokąt foremny.

siedmiokąt foremny.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wierzchołki i krawędzie

Jeśli podstawa ma \(n\) wierzchołków, ostrosłup ma jeszcze jeden wierzchołek nad podstawą. Ma też \(n\) krawędzi podstawy i \(n\) krawędzi bocznych.

\[W=n+1,\qquad K=2n\]

2 Wyznacz liczbę boków podstawy

Podstawiamy te liczby do podanego stosunku i rozwiązujemy równanie.

\[\frac{n+1}{2n}=\frac35\quad\Longrightarrow\quad 5(n+1)=6n\quad\Longrightarrow\quad n=5\]

Odpowiedź

B. Podstawą jest pięciokąt foremny.

\[n=5\]

Sprawdzenie

Dla pięciokątnej podstawy ostrosłup ma 6 wierzchołków i 10 krawędzi, więc otrzymujemy wymagany stosunek.

\[\frac{W}{K}=\frac{5+1}{2\cdot5}=\frac6{10}=\frac35\]

Zadanie 27

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

85%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr \(1\), \(3\), \(6\), \(8\), przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich takich kodów jest równa

\(4\)

\(10\)

\(24\)

\(16\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór cyfr na kolejne miejsca

Każda cyfra występuje dokładnie raz, więc po każdym wyborze zostaje o jedną cyfrę mniej.

\[4\cdot3\cdot2\cdot1=24\]

Odpowiedź

Istnieją 24 takie kody. Odpowiedź C.

\[24\]

Sprawdzenie

Każda z 4 cyfr może być pierwsza. Po jej ustaleniu pozostałe 3 cyfry można ustawić na 6 sposobów, co potwierdza wynik.

\[4\cdot(3\cdot2\cdot1)=4\cdot6=24\]

Zadanie 21

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

84%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których cyfry się nie powtarzają?

\(10\)

\(15\)

\(20\)

\(25\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór cyfry dziesiątek

Na miejscu dziesiątek może stać każda z pięciu podanych cyfr.

\[5\text{ możliwości}\]

2 Wybór cyfry jedności

Cyfra nie może się powtórzyć, więc po wyborze cyfry dziesiątek pozostają cztery możliwości. Z zasady mnożenia otrzymujemy liczbę wszystkich liczb.

\[5\cdot4=20\]

Odpowiedź

Jest 20 takich liczb. Odpowiedź C.

\[20\]

Sprawdzenie

Bez ograniczenia powtarzania byłoby 25 liczb. Pięć z nich ma jednakowe cyfry, zatem pozostaje 20.

\[5\cdot5-5=20\]

Zadanie 28

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

81%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(0\), \(5\), \(7\) (np. \(57\ 075\), \(55\ 555\)), jest

\(5^3\)

\(2\cdot4^3\)

\(2\cdot3^4\)

\(3^5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór pierwszej cyfry

Liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od zera, więc pierwszą cyfrą jest 5 albo 7.

\[2\text{ możliwości}\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Na każdym z czterech pozostałych miejsc można niezależnie wpisać 0, 5 albo 7. Z zasady mnożenia otrzymujemy liczbę wszystkich zapisów.

\[2\cdot 3^4=2\cdot 81=162\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C, czyli 162 liczby.

\[2\cdot 3^4=162\]

Sprawdzenie

Spośród wszystkich zapisów z pięciu dozwolonych cyfr odjęcie tych, które zaczynają się od zera, daje ten sam wynik.

\[3^5-3^4=243-81=162\]

Zadanie 29

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

79%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby \(W\) wszystkich wierzchołków do liczby \(K\) wszystkich krawędzi jest równy \(\frac{W}{K}=\frac{3}{5}\).

Podstawą tego ostrosłupa jest

kwadrat.

pięciokąt foremny.

sześciokąt foremny.

siedmiokąt foremny.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policzenie wierzchołków i krawędzi

Jeśli podstawa ma n boków, ostrosłup ma n wierzchołków podstawy i jeden wierzchołek górny oraz po n krawędzi podstawy i krawędzi bocznych.

\[W=n+1,\qquad K=2n\]

2 Wyznaczenie liczby boków podstawy

Podstawiamy te liczby do podanego stosunku i rozwiązujemy równanie.

\[\frac{n+1}{2n}=\frac35\quad\Longrightarrow\quad 5(n+1)=6n\quad\Longrightarrow\quad n=5\]

Odpowiedź

B. Pięciokąt foremny.

\[n=5\]

Sprawdzenie

Dla pięciokąta ostrosłup ma 6 wierzchołków i 10 krawędzi, więc podany stosunek się zgadza.

\[\frac{W}{K}=\frac{6}{10}=\frac35\]

Zadanie 24

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry \(0, 2, 5\), jest

\(12\)

\(36\)

\(162\)

\(243\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór pierwszej cyfry

Liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od zera, więc pierwszą cyfrą jest 2 albo 5.

\[2\text{ możliwości}\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Na każdym z czterech pozostałych miejsc można niezależnie wpisać 0, 2 albo 5. Mnożymy liczby możliwości.

\[2\cdot 3^4=2\cdot 81=162\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 162. Odpowiedź C.

\[162\]

Sprawdzenie

Wszystkich pięciocyfrowych ciągów z tych cyfr jest 243, a 81 zaczyna się od zera. Różnica wynosi 162.

\[3^5-3^4=243-81=162\]

Zadanie 27

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

71%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra \(0\), jest

\(45\)

\(50\)

\(54\)

\(81\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie miejsca zera

Cyfra setek nie może być zerem, bo liczba ma trzy cyfry. Cyfra jedności też nie może być zerem, bo liczba jest nieparzysta. Zatem zero musi wystąpić na miejscu dziesiątek.

\[\overline{a0c},\quad a\in\{1,2,\ldots,9\},\quad c\in\{1,3,5,7,9\}\]

2 Policzenie liczb

Cyfrę setek wybieramy na 9 sposobów, a cyfrę jedności na 5 sposobów. Każda para wyborów daje inną liczbę.

\[9\cdot 5=45\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 45. Odpowiedź A.

\[45\]

Sprawdzenie

Każda policzona liczba jest trzycyfrowa, nieparzysta i ma dokładnie jedno zero. W każdej liczbie spełniającej warunki zero musi być cyfrą dziesiątek, więc żadnej nie pominięto.

\[\overline{a0c},\quad a\in\{1,\ldots,9\},\ c\in\{1,3,5,7,9\}\]

Zadanie 27

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, większych od \(700\), w których każda cyfra należy do zbioru \(\{1,2,3,7,8,9\}\) i żadna cyfra się nie powtarza, jest

\(108\)

\(60\)

\(40\)

\(299\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór cyfry setek

Aby liczba była większa od 700, cyfrą setek musi być 7, 8 lub 9. Są więc 3 możliwości.

\[3\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Cyfry nie mogą się powtarzać, więc na miejscu dziesiątek można wybrać jedną z 5 pozostałych cyfr, a na miejscu jedności jedną z 4.

\[3\cdot5\cdot4=60\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 60. Odpowiedź B.

\[60\]

Sprawdzenie

Dla każdej z trzech możliwych cyfr setek jest 5·4=20 liczb; łącznie daje to 3·20=60. Żadna użyta cyfra się nie powtarza.

\[3\cdot(5\cdot4)=60\]

Zadanie 28

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

58%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 5, 7 (np. 57 075, 55 555), jest

\(5^3\)

\(2\cdot 4^3\)

\(2\cdot 3^4\)

\(3^5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór pierwszej cyfry

Liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od zera, więc pierwszą cyfrą jest 5 albo 7.

\[2\text{ możliwości}\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Na każdym z czterech pozostałych miejsc można niezależnie wpisać 0, 5 albo 7. Z zasady mnożenia otrzymujemy liczbę wszystkich zapisów.

\[2\cdot 3^4=2\cdot 81=162\]

Odpowiedź

Jest 162 takich liczb. Odpowiedź C.

\[2\cdot 3^4=162\]

Sprawdzenie

Liczb zaczynających się od 5 jest 81 i tyle samo zaczynających się od 7. Daje to łącznie 162 liczby pięciocyfrowe.

\[3^4+3^4=81+81=162\]

Zadanie 27

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

49%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez \(5\) jest

\(9\cdot 8\cdot 7\cdot 2\)

\(9\cdot 10\cdot 10\cdot 1\)

\(9\cdot 10\cdot 10\cdot 2\)

\(9\cdot 9\cdot 8\cdot 1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie cyfry jedności

Liczba podzielna przez 5 kończy się na 0 lub 5. Ponieważ ma być nieparzysta, jej ostatnią cyfrą jest 5.

\[d=5\]

2 Policzenie możliwości

Cyfra tysięcy może być jedną z 9 cyfr od 1 do 9, a cyfry setek i dziesiątek mogą być dowolne. Cyfry mogą się powtarzać, więc mnożymy liczby możliwości.

\[9\cdot 10\cdot 10\cdot 1=900\]

Odpowiedź

Jest 900 takich liczb. Odpowiedź B.

\[900=9\cdot 10\cdot 10\cdot 1\]

Sprawdzenie

Liczby te biegną od 1005 do 9995 co 10, więc jest ich dokładnie 900.

\[\frac{9995-1005}{10}+1=900\]

Zadanie 24

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

42%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od \(2018\) i podzielnych przez \(5\)?

\(402\)

\(403\)

\(203\)

\(204\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie skrajnych liczb

Pierwsza liczba czterocyfrowa podzielna przez 5 to 1000. Ostatnia mniejsza od 2018 to 2015.

\[1000=5\cdot200,\qquad 2015=5\cdot403\]

2 Policzenie liczb

Kolejne liczby podzielne przez 5 różnią się o 5, więc liczymy wyrazy ciągu od 1000 do 2015, uwzględniając oba końce.

\[\frac{2015-1000}{5}+1=204\]

Odpowiedź

Są 204 takie liczby. Odpowiedź D.

\[204\]

Sprawdzenie

Mnożniki 5 mają wartości od 200 do 403 włącznie, a liczb całkowitych w tym przedziale jest 403 − 200 + 1 = 204. Następna wielokrotność, 2020, przekracza 2018.

\[403-200+1=204,\qquad 2020>2018\]