Zamknięte1 pkt
Stereometria
68%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120^\circ\), a tworząca tego stożka ma długość \(4\). Objętość tego stożka jest równa
A
\(36\pi\)
B
\(18\pi\)
C
\(24\pi\)
D
\(8\pi\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie promienia i wysokości
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Wysokość dzieli kąt rozwarcia na dwa kąty po 60°, więc korzystamy z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym.
\[r=4\sin 60^\circ=2\sqrt{3},\qquad h=4\cos 60^\circ=2\]
2 Obliczenie objętości
Podstawiamy promień i wysokość do wzoru na objętość stożka.
\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi(2\sqrt{3})^2\cdot 2=8\pi\]
Odpowiedź
Objętość wynosi \(8\pi\). Odpowiedź D.
\[V=8\pi\]
Sprawdzenie
Promień i wysokość spełniają twierdzenie Pitagorasa dla tworzącej długości 4, a wynik odpowiada opcji D.
\[(2\sqrt{3})^2+2^2=12+4=16=4^2\]