Matematyka — matura 2016

76%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dla każdej dodatniej liczby $a$ iloraz $\frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}$ jest równy

$a^{-3,9}$

$a^{-2}$

$a^{-1,3}$

$a^{1,3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie własności potęg

Przy dzieleniu potęg o tej samej dodatniej podstawie odejmujemy wykładniki.

\[\frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}=a^{-2,6-1,3}=a^{-3,9}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[a^{-3,9}\]

Sprawdzenie

Po pomnożeniu wyniku przez dzielnik otrzymujemy licznik.

\[a^{-3,9}\cdot a^{1,3}=a^{-2,6}\]

Zadanie 2

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

68%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba $\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{2})$ jest równa

$\frac{3}{2}$

$2$

$\frac{5}{2}$

$3$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz liczby jako potęgi dwójki

Sprowadzamy podstawę i liczbę logarytmowaną do tej samej podstawy, aby porównać wykładniki.

\[\sqrt{2}=2^{\frac12},\qquad 2\sqrt{2}=2^{\frac32}\]

2 Oblicz logarytm

Logarytm potęgi o tej samej podstawie jest jej wykładnikiem, więc dzielimy wykładniki potęg dwójki.

\[\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{2})=\log_{2^{\frac12}}(2^{\frac32})=\frac{\frac32}{\frac12}=3\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: 3.

\[\boxed{3}\]

Sprawdzenie

Podstawa logarytmu jest dodatnia i różna od 1, a liczba logarytmowana jest dodatnia. Ponadto trzecia potęga podstawy daje liczbę logarytmowaną.

\[\sqrt{2}>0,\quad \sqrt{2}\ne 1,\quad 2\sqrt{2}>0,\quad (\sqrt{2})^3=2\sqrt{2}\]

Zadanie 3

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczby $a$ i $c$ są dodatnie. Liczba $b$ stanowi 48% liczby $a$ oraz 32% liczby $c$. Wynika stąd, że

$c=1{,}5a$

$c=1{,}6a$

$c=0{,}8a$

$c=0{,}16a$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie zależności

Ta sama liczba b jest równa 48% liczby a i 32% liczby c, więc przyrównujemy oba wyrażenia.

\[b=0{,}48a=0{,}32c\]

2 Wyznaczenie c

Dzielimy równość przez dodatnią liczbę 0,32.

\[0{,}48a=0{,}32c\quad\Rightarrow\quad c=\frac{0{,}48}{0{,}32}a=1{,}5a\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[c=1{,}5a\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości c jej 32% wynosi 48% liczby a, zgodnie z treścią zadania.

\[0{,}32c=0{,}32\cdot1{,}5a=0{,}48a=b\]

Zadanie 4

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

73%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Równość $(2\sqrt{2}-a)^2=17-12\sqrt{2}$ jest prawdziwa dla

$a=3$

$a=1$

$a=-2$

$a=-3$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiń lewą stronę

Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy, aby porównać współczynniki przy $\sqrt{2}$.

\[(2\sqrt{2}-a)^2=8-4a\sqrt{2}+a^2\]

2 Wyznacz wartość z odpowiedzi

Wszystkie podane wartości $a$ są całkowite. Porównujemy współczynniki przy $\sqrt{2}$:

\[-4a=-12\quad\Rightarrow\quad a=3\]

Odpowiedź

A. $a=3$.

\[a=3\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu $a=3$ lewa strona jest równa prawej.

\[(2\sqrt{2}-3)^2=8-12\sqrt{2}+9=17-12\sqrt{2}\]

Zadanie 5

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Jedną z liczb, które spełniają nierówność $-x^5+x^3-x<-2$, jest

$1$

$-1$

$2$

$-2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie liczby 2

Sprawdzamy odpowiedź C, obliczając lewą stronę nierówności dla x=2.

\[-2^5+2^3-2=-32+8-2=-26\]

2 Porównanie stron

Otrzymana wartość jest mniejsza od −2, więc liczba 2 spełnia nierówność.

\[-26<-2\]

Odpowiedź

Liczba 2, odpowiedź C.

\[x=2\]

Sprawdzenie

Dla pozostałych odpowiedzi lewa strona wynosi odpowiednio −1, 1 i 26. Żadna z tych wartości nie jest mniejsza od −2.

\[x=1:\ -1;\quad x=-1:\ 1;\quad x=-2:\ 26\]

Zadanie 6

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

71%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Proste o równaniach $2x-3y=4$ i $5x-6y=7$ przecinają się w punkcie $P$. Stąd wynika, że

$P=(1,2)$

$P=(-1,2)$

$P=(-1,-2)$

$P=(1,-2)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współrzędnej x

Mnożymy pierwsze równanie przez 2, aby współczynniki przy y były równe. Po odjęciu równań otrzymujemy x.

\[\begin{aligned}4x-6y&=8,\\(5x-6y)-(4x-6y)&=7-8,\\x&=-1.\end{aligned}\]

2 Wyznaczenie współrzędnej y

Podstawiamy obliczone x do pierwszego równania.

\[2(-1)-3y=4\quad\Longrightarrow\quad -3y=6\quad\Longrightarrow\quad y=-2.\]

Odpowiedź

Punkt przecięcia to P=(-1,-2). Odpowiedź C.

\[P=(-1,-2)\]

Sprawdzenie

Punkt spełnia oba równania prostych.

\[2(-1)-3(-2)=4,\qquad 5(-1)-6(-2)=7.\]

Zadanie 7

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

88%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty $ABCD$ leżą na okręgu o środku $S$ (zobacz rysunek). Miara kąta $BDC$ jest równa

Okrąg o środku S z punktami A, B, C, D oraz odcinkami i kątami oznaczonymi 27°, 118° i znakiem zapytania.

$91^\circ$

$72{,}5^\circ$

$18^\circ$

$32^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt wpisany ADC

Kąt środkowy ASC i kąt wpisany ADC opierają się na tym samym łuku AC, więc kąt wpisany ma połowę miary kąta środkowego.

\[\angle ADC=\frac{118^\circ}{2}=59^\circ\]

2 Szukany kąt

Półprosta DB leży wewnątrz kąta ADC, a kąt ADB ma 27°, więc odejmujemy jego miarę.

\[\angle BDC=\angle ADC-\angle ADB=59^\circ-27^\circ=32^\circ\]

Odpowiedź

Kąt BDC ma 32°, czyli odpowiedź D.

\[\boxed{\angle BDC=32^\circ\quad(\mathrm{D})}\]

Sprawdzenie

Kąty ADB i BDC mają łącznie 59°, czyli połowę kąta środkowego ASC.

\[27^\circ+32^\circ=59^\circ=\frac{118^\circ}{2}\]

Zadanie 8

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

72%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dana jest funkcja liniowa $f(x)=\frac{3}{4}x+6$. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

$8$

$6$

$-6$

$-8$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsca zerowego

W miejscu zerowym wartość funkcji wynosi zero, więc rozwiązujemy równanie $f(x)=0$.

\[\frac{3}{4}x+6=0\;\Rightarrow\;\frac{3}{4}x=-6\;\Rightarrow\;x=-6\cdot\frac{4}{3}=-8\]

Odpowiedź

Miejscem zerowym jest liczba $-8$, czyli odpowiedź D.

\[x_0=-8\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu $-8$ otrzymujemy zero.

\[f(-8)=\frac{3}{4}\cdot(-8)+6=-6+6=0\]

Zadanie 9

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

73%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Równanie wymierne $\frac{3x-1}{x+5}=3$, gdzie $x\ne-5$,

nie ma rozwiązań rzeczywistych.

ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usunięcie mianownika

Ponieważ $x\ne-5$, możemy pomnożyć obie strony równania przez $x+5$.

\[\frac{3x-1}{x+5}=3\quad\Longleftrightarrow\quad 3x-1=3(x+5)\]

2 Porównanie stron

Po rozwinięciu nawiasu i odjęciu $3x$ otrzymujemy sprzeczność.

\[3x-1=3x+15\quad\Longleftrightarrow\quad -1=15\]

Odpowiedź

Równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych. Odpowiedź A.

\[\varnothing\]

Sprawdzenie

Dla każdego dopuszczalnego x lewa strona różni się od 3, ponieważ ułamek o liczniku −16 i niezerowym mianowniku nie jest zerem.

\[\frac{3x-1}{x+5}=3-\frac{16}{x+5}\ne 3\quad\text{dla }x\ne-5\]

Zadanie 10

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

81%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Informacja do zadań 10. i 11.

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(1,9)$. Liczby $-2$ i $4$ to miejsca zerowe funkcji $f$.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział

Wykres paraboli skierowanej ramionami w dół w układzie współrzędnych, z widocznymi osiami, grotami, etykietami i siatką.

$( -\infty,-2\rangle$

$\langle-2,4\rangle$

$\langle4,+\infty)$

$( -\infty,9\rangle$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wartości największej

Ramiona paraboli są skierowane w dół, więc wierzchołek W=(1,9) wyznacza największą wartość funkcji.

\[f(1)=9\]

2 Wyznaczenie zbioru wartości

Funkcja przyjmuje wartość 9, a jej wartości maleją bez ograniczenia. Zatem należą do zbioru wszystkie liczby nie większe od 9.

\[y\leq 9\quad\Longrightarrow\quad W_f=(-\infty,9\rangle\]

Odpowiedź

Zbiorem wartości jest przedział od minus nieskończoności do 9 włącznie. Odpowiedź D.

\[W_f=(-\infty,9\rangle\]

Sprawdzenie

Wierzchołek daje wartość 9, a miejsca zerowe −2 i 4 potwierdzają, że funkcja przyjmuje także wartości mniejsze od 9.

\[f(-2)=f(4)=0<9\]

Zadanie 11

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

78%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Najmniejsza wartość funkcji $f$ w przedziale $\langle-1,2\rangle$ jest równa

Wykres fragmentu paraboli z osiami i oznaczeniami współrzędnych.

$2$

$5$

$8$

$9$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wzoru funkcji

Z miejsc zerowych zapisujemy postać iloczynową, a współczynnik obliczamy z położenia wierzchołka.

\[f(x)=a(x+2)(x-4),\quad 9=f(1)=a\cdot3\cdot(-3),\quad a=-1\]

2 Wyznaczenie najmniejszej wartości

Parabola ma ramiona skierowane w dół, więc w przedziale $[-1,2]$ najmniejszą wartość przyjmuje na jednym z jego końców.

\[f(-1)=-(1)(-5)=5,\quad f(2)=-(4)(-2)=8,\quad \min_{x\in[-1,2]}f(x)=5\]

Odpowiedź

Najmniejsza wartość wynosi 5. Odpowiedź B.

\[\boxed{5}\]

Sprawdzenie

Wierzchołek leży wewnątrz przedziału i daje wartość 9, większą od wartości 5 i 8 na jego końcach.

\[f(1)=9>8>5\]

Zadanie 12

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wtedy $f(-\sqrt[3]{3})$ jest równa

$-\frac{\sqrt[3]{9}}{2}$

$-\frac{3}{5}$

$\frac{3}{5}$

$\frac{\sqrt[3]{3}}{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie potęg argumentu

Wyznaczamy potęgi występujące we wzorze funkcji.

\[x=-\sqrt[3]{3}\quad\Longrightarrow\quad x^3=-3,\quad x^6=(x^3)^2=9\]

2 Podstawienie do wzoru

Podstawiamy obliczone wartości i skracamy ułamek.

\[f(-\sqrt[3]{3})=\frac{2\cdot(-3)}{9+1}=\frac{-6}{10}=-\frac{3}{5}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[f(-\sqrt[3]{3})=-\frac{3}{5}\]

Sprawdzenie

Mianownik wynosi 10, więc funkcja jest określona dla podanego argumentu. Ponieważ licznik wynosi −6, otrzymana wartość jest ujemna i równa −3/5.

\[\frac{-6}{10}=-\frac{3}{5}\]

Zadanie 13

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

58%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W okręgu o środku w punkcie $S$ poprowadzono cięciwę $AB$, która utworzyła z promieniem $AS$ kąt o mierze $31^\circ$ (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu $S$ od cięciwy $AB$ jest liczbą z przedziału

Okrąg o środku S z cięciwą AB. Punkt K leży na cięciwie; narysowano odcinki AS i KS. Kąt między AB a AS przy punkcie A ma miarę 31°.

$\left\langle\frac{9}{2},\frac{11}{2}\right\rangle$

$\left(\frac{11}{2},\frac{13}{2}\right\rangle$

$\left(\frac{13}{2},\frac{19}{2}\right\rangle$

$\left(\frac{19}{2},\frac{37}{2}\right\rangle$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie odległości

Opuszczamy z punktu $S$ prostopadłą na prostą $AB$ i oznaczamy jej podstawę przez $H$. W trójkącie prostokątnym $AHS$ odległość środka od cięciwy to bok naprzeciw kąta $31^\circ$.

\[\sin 31^\circ=\frac{SH}{AS}=\frac{SH}{10},\qquad SH=10\sin 31^\circ\]

2 Wybór przedziału

Obliczamy przybliżenie odległości i porównujemy je z końcami przedziałów.

\[SH\approx 10\cdot 0{,}5150=5{,}150,\qquad \frac92<5{,}150<\frac{11}{2}\]

Odpowiedź

Odległość wynosi około $5{,}15$ i należy do przedziału A.

\[SH=10\sin 31^\circ\in\left\langle\frac92,\frac{11}{2}\right\rangle\]

Sprawdzenie

Otrzymana odległość jest dodatnia i mniejsza od promienia $10$, a jej przybliżenie leży między $4{,}5$ a $5{,}5$.

\[0<5{,}150<10,\qquad 4{,}5<5{,}150<5{,}5\]

Zadanie 14

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

69%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa $-\frac{3}{2}$. Siódmy wyraz tego ciągu jest równy

$\frac{37}{2}$

$-\frac{37}{2}$

$-\frac{5}{2}$

$\frac{5}{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie siódmego wyrazu

Od siódmego do czternastego wyrazu jest siedem kroków, więc odejmujemy od czternastego wyrazu siedmiokrotność różnicy ciągu.

\[a_7=a_{14}-7r=8-7\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{37}{2}\]

Odpowiedź

Siódmy wyraz jest równy $\frac{37}{2}$. Odpowiedź A.

\[a_7=\frac{37}{2}\]

Sprawdzenie

Dodanie siedmiokrotności różnicy do otrzymanego siódmego wyrazu daje podany czternasty wyraz.

\[\frac{37}{2}+7\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{16}{2}=8\]

Zadanie 15

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

66%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg $(x,2x+3,4x+3)$ jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

$-4$

$1$

$0$

$-1$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu geometrycznego

W trzech kolejnych wyrazach ciągu geometrycznego kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem sąsiednich.

\[(2x+3)^2=x(4x+3)\]

2 Obliczenie pierwszego wyrazu

Rozwijamy nawiasy i rozwiązujemy otrzymane równanie.

\[4x^2+12x+9=4x^2+3x\quad\Longrightarrow\quad 9x+9=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1\]

Odpowiedź

Pierwszy wyraz wynosi −1. Odpowiedź D.

\[x=-1\]

Sprawdzenie

Dla x = −1 wyrazy to −1, 1, −1. Każdy kolejny powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez −1, więc ciąg jest geometryczny.

\[(-1,1,-1),\qquad \frac{1}{-1}=\frac{-1}{1}=-1\]

Zadanie 16

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

85%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Przedstawione na rysunku trójkąty $ABC$ i $PQR$ są podobne. Bok $AB$ trójkąta $ABC$ ma długość

Dwa podobne trójkąty. W trójkącie ABC bok AB oznaczono x, bok BC ma długość 9, kąt A ma 70°, a kąt B ma 48°. W trójkącie PQR bok QR ma długość 18, bok QP ma długość 17, kąt P ma 70°, a kąt R ma 62°.

$8$

$8{,}5$

$9{,}5$

$10$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie odpowiadających boków

W trójkącie ABC kąt C ma 62°, a w trójkącie PQR kąt Q ma 48°. Zatem w podobnych trójkątach A odpowiada P, B odpowiada Q, a C odpowiada R. Bokowi BC odpowiada QR, a bokowi AB odpowiada PQ.

\[\angle C=180^\circ-70^\circ-48^\circ=62^\circ,\qquad \angle Q=180^\circ-70^\circ-62^\circ=48^\circ\]

2 Obliczenie boku AB

Stosunek odpowiadających boków jest stały. Ponieważ BC ma długość 9, a QR długość 18, mniejszy trójkąt ma boki dwa razy krótsze.

\[\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{9}{18}=\frac12,\qquad AB=\frac12\cdot17=8{,}5\]

Odpowiedź

Bok AB ma długość 8,5. Odpowiedź B.

\[AB=8{,}5\]

Sprawdzenie

Otrzymana długość zachowuje skalę podobieństwa: stosunek AB do PQ wynosi tyle samo co stosunek BC do QR.

\[\frac{8{,}5}{17}=\frac12=\frac9{18}\]

Zadanie 17

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

81%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg}\alpha=\frac{2}{3}$. Wtedy

$\sin\alpha=\frac{3\sqrt{13}}{26}$

$\sin\alpha=\frac{\sqrt{13}}{13}$

$\sin\alpha=\frac{2\sqrt{13}}{13}$

$\sin\alpha=\frac{3\sqrt{13}}{13}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie boków trójkąta

Tangens kąta ostrego jest stosunkiem przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przy kącie. Możemy więc przyjąć, że mają one długości 2 i 3.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{2}{3}\]

2 Obliczenie przeciwprostokątnej

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa, aby obliczyć długość potrzebną do wyznaczenia sinusa.

\[c=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\]

3 Obliczenie sinusa

Sinus to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej.

\[\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\sin\alpha=\frac{2\sqrt{13}}{13}\]

Sprawdzenie

Dla tego samego trójkąta cosinus wynosi 3 podzielone przez pierwiastek z 13, więc iloraz sinusa i cosinusa daje wymagany tangens. Sinus jest dodatni, zgodnie z tym, że kąt jest ostry.

\[\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{2/\sqrt{13}}{3/\sqrt{13}}=\frac{2}{3}\]

Zadanie 18

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

66%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Z odcinków o długościach: $5$, $2a+1$, $a-1$ można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

$a=6$

$a=4$

$a=3$

$a=2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie równych boków

W trójkącie równoramiennym dwa boki mają tę samą długość, więc rozpatrujemy wszystkie możliwe pary.

\[5=2a+1\Rightarrow a=2;\qquad 5=a-1\Rightarrow a=6;\qquad 2a+1=a-1\Rightarrow a=-2\]

2 Sprawdzenie warunków trójkąta

Długości boków muszą być dodatnie, a suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego. Tylko dla $a=2$ warunki są spełnione.

\[a=2:\ (5,5,1),\quad 5+1>5;\qquad a=6:\ (5,13,5),\quad 5+5<13;\qquad a=-2:\ 2a+1=-3<0\]

Odpowiedź

a = 2, odpowiedź D.

\[a=2\]

Sprawdzenie

Dla a = 2 otrzymujemy boki 5, 5 i 1. Są dodatnie, dwa są równe, a nierówności trójkąta zachodzą.

\[5+1>5,\qquad 5+5>1\]

Zadanie 19

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Okręgi o promieniach $3$ i $4$ są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu $4$ w punkcie $P$ przechodzi przez środek okręgu o promieniu $3$ (zobacz rysunek).

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności $P$, jest równe

Dwa okręgi styczne zewnętrznie o środkach O₁ i O₂ oraz promieniach 3 i 4. Prosta przechodzi przez O₁ i jest styczna do większego okręgu w punkcie P. Zaznaczono odcinki O₁O₂ i PO₂.

$14$

$2\sqrt{33}$

$4\sqrt{33}$

$12$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odległość między środkami

Okręgi są styczne zewnętrznie, więc odległość między ich środkami jest sumą promieni.

\[O_1O_2=3+4=7\]

2 Długość odcinka stycznej

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przyprostokątną $O_1P$.

\[O_1P=\sqrt{O_1O_2^2-O_2P^2}=\sqrt{7^2-4^2}=\sqrt{33}\]

3 Pole trójkąta

Odcinki $O_1P$ i $O_2P$ są prostopadłe, więc pole jest połową iloczynu ich długości.

\[S=\frac12\cdot\sqrt{33}\cdot4=2\sqrt{33}\]

Odpowiedź

Pole wynosi $2\sqrt{33}$. Odpowiedź B.

\[S=2\sqrt{33}\]

Sprawdzenie

Długości przyprostokątnych spełniają twierdzenie Pitagorasa: $33+16=49=7^2$, a obliczone pole odpowiada odpowiedzi B.

\[(\sqrt{33})^2+4^2=7^2\]

Zadanie 20

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

65%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Proste opisane równaniami $y=\frac{2}{m-1}x+m-2$ oraz $y=mx+\frac{1}{m+1}$ są prostopadłe, gdy

$m=2$

$m=\frac{1}{2}$

$m=\frac{1}{3}$

$m=-2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie warunków

Mianowniki muszą być różne od zera, więc wykluczamy wartości 1 i −1.

\[m-1\ne 0,\quad m+1\ne 0,\quad m\ne 1,\quad m\ne -1\]

2 Warunek prostopadłości

Iloczyn współczynników kierunkowych dwóch prostych prostopadłych wynosi −1. Podstawiamy współczynniki z równań prostych.

\[\frac{2}{m-1}\cdot m=-1\quad\Longrightarrow\quad 2m=-(m-1)\quad\Longrightarrow\quad 3m=1\quad\Longrightarrow\quad m=\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: m = 1/3.

\[m=\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Wartość 1/3 spełnia warunki. Współczynniki kierunkowe wynoszą odpowiednio −3 i 1/3, a ich iloczyn jest równy −1.

\[\frac{2}{\frac{1}{3}-1}=-3,\qquad -3\cdot\frac{1}{3}=-1\]

Zadanie 21

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

87%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W układzie współrzędnych dane są punkty $A=(a,6)$ oraz $B=(7,b)$. Środkiem odcinka $AB$ jest punkt $M=(3,4)$. Wynika stąd, że

$a=5$ i $b=5$

$a=-1$ i $b=2$

$a=4$ i $b=10$

$a=-4$ i $b=-2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie współrzędnych środka

Współrzędne środka odcinka są średnimi odpowiednich współrzędnych jego końców.

\[\left(\frac{a+7}{2},\frac{6+b}{2}\right)=(3,4)\]

2 Wyznaczenie niewiadomych

Porównujemy odpowiednie współrzędne i rozwiązujemy dwa równania.

\[\frac{a+7}{2}=3\Rightarrow a+7=6\Rightarrow a=-1,\qquad \frac{6+b}{2}=4\Rightarrow 6+b=8\Rightarrow b=2\]

Odpowiedź

a = −1 i b = 2, odpowiedź B.

\[a=-1,\quad b=2\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanych wartości środek odcinka AB ma współrzędne (3, 4), zgodne z treścią zadania.

\[\left(\frac{-1+7}{2},\frac{6+2}{2}\right)=(3,4)\]

Zadanie 22

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech $p$ oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy

$0\le p<0{,}2$

$0{,}2\le p\le 0{,}35$

$0{,}35<p\le 0{,}5$

$0{,}5<p\le 1$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wszystkie wyniki

W każdym z trzech rzutów są dwa możliwe wyniki, więc liczba jednakowo prawdopodobnych wyników wynosi osiem.

\[2^3=8\]

2 Policz wyniki sprzyjające

Wybieramy, w których dwóch z trzech rzutów wypadnie orzeł.

\[\binom{3}{2}=3\]

3 Oblicz prawdopodobieństwo

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników, a otrzymaną wartość porównujemy z przedziałami w odpowiedziach.

\[p=\frac{3}{8}=0{,}375,\qquad 0{,}35<0{,}375\le 0{,}5\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: prawdopodobieństwo wynosi 3/8.

\[p=\frac{3}{8}\]

Sprawdzenie

Wyniki sprzyjające to OOR, ORO i ROO. Są trzy spośród ośmiu możliwych wyników, więc otrzymane prawdopodobieństwo i wybór C są poprawne.

\[\frac{3}{8}=0{,}375\in(0{,}35;0{,}5]\]

Zadanie 23

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

68%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Kąt rozwarcia stożka ma miarę $120^\circ$, a tworząca tego stożka ma długość $4$. Objętość tego stożka jest równa

$36\pi$

$18\pi$

$24\pi$

$8\pi$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia i wysokości

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Wysokość dzieli kąt rozwarcia na dwa kąty po 60°, więc korzystamy z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym.

\[r=4\sin 60^\circ=2\sqrt{3},\qquad h=4\cos 60^\circ=2\]

2 Obliczenie objętości

Podstawiamy promień i wysokość do wzoru na objętość stożka.

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi(2\sqrt{3})^2\cdot 2=8\pi\]

Odpowiedź

Objętość wynosi $8\pi$. Odpowiedź D.

\[V=8\pi\]

Sprawdzenie

Promień i wysokość spełniają twierdzenie Pitagorasa dla tworzącej długości 4, a wynik odpowiada opcji D.

\[(2\sqrt{3})^2+2^2=12+4=16=4^2\]

Zadanie 24

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt $\alpha$ o mierze

$Rysunek graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z zaznaczonym przekrojem przechodzącym przez przekątną dolnej podstawy i wierzchołek górnej podstawy. Zaznaczono kąt $\alpha$ między płaszczyzną przekroju a podstawą.$

$30^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

$75^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie odcinka w podstawie

Niech d oznacza przekątną podstawy, h wysokość graniastosłupa, a O środek podstawy. W kwadracie przekątne są prostopadłe i dzielą się na połowy, więc odległość wierzchołka B, leżącego pod wskazanym wierzchołkiem górnej podstawy, od przekątnej zawartej w przekroju wynosi d/2.

\[OB=\frac d2,\qquad d=2h\]

2 Obliczenie kąta między płaszczyznami

Odcinek OB jest prostopadły do przekątnej podstawy. Odcinek łączący O z wierzchołkiem T górnej podstawy też jest do niej prostopadły, dlatego kąt TOB jest kątem między płaszczyzną przekroju a podstawą. W trójkącie prostokątnym OBT przyprostokątna BT ma długość h.

\[\tan\alpha=\frac{BT}{OB}=\frac{h}{d/2}=\frac{2h}{2h}=1,\qquad \alpha=45^\circ\]

Odpowiedź

B. Kąt ma miarę 45°.

\[\boxed{\alpha=45^\circ}\]

Sprawdzenie

Dla d=2h odcinki OB i BT mają tę samą długość h, więc trójkąt prostokątny OBT jest równoramienny. Jego kąt przy O rzeczywiście ma 45°.

\[OB=\frac{2h}{2}=h=BT\]

Zadanie 25

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: $31$, $16$, $25$, $29$, $27$, $x$, jest równa $\frac{x}{2}$. Mediana tych liczb jest równa

$26$

$27$

$28$

$29$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie liczby x

Zapisujemy średnią sześciu liczb i przyrównujemy ją do podanej wartości.

\[\frac{31+16+25+29+27+x}{6}=\frac{x}{2}\quad\Longrightarrow\quad\frac{128+x}{6}=\frac{x}{2}\quad\Longrightarrow\quad128+x=3x\quad\Longrightarrow\quad x=64\]

2 Wyznaczenie mediany

Porządkujemy liczby rosnąco. Przy sześciu liczbach mediana jest średnią trzeciej i czwartej.

\[16,25,27,29,31,64;\qquad \frac{27+29}{2}=28\]

Odpowiedź

Mediana wynosi 28. Odpowiedź C.

\[\boxed{28}\]

Sprawdzenie

Dla x = 64 średnia wynosi 32, czyli tyle samo co x/2. Liczba 64 jest naturalna, a środkowe liczby w uporządkowanym ciągu to 27 i 29.

\[\frac{128+64}{6}=32=\frac{64}{2},\qquad\frac{27+29}{2}=28\]

Zadanie 26

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat.

kolejne lata	1	2	3	4	5	6
przyrost (w cm)	10	10	7	8	8	7

Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do 1 cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie średniej

Dodajemy przyrosty z sześciu lat i dzielimy sumę przez liczbę lat.

\[\overline{x}=\frac{10+10+7+8+8+7}{6}=\frac{50}{6}=\frac{25}{3}\,\text{cm}\]

2 Zaokrąglenie

Zaokrąglamy średnią do pełnych centymetrów.

\[\frac{25}{3}\,\text{cm}\approx 8\,\text{cm}\]

3 Obliczenie błędu względnego

Dzielimy wartość błędu bezwzględnego przez dokładną średnią i zapisujemy wynik w procentach.

\[\frac{\left|8-\frac{25}{3}\right|}{\frac{25}{3}}\cdot100\%=\frac{1}{25}\cdot100\%=4\%\]

Odpowiedź

Średni roczny przyrost po zaokrągleniu wynosi 8 cm, a błąd względny tego przybliżenia wynosi 4%.

\[8\,\text{cm};\quad 4\%\]

Sprawdzenie

Przyrosty sumują się do 50 cm. Przybliżenie 8 cm różni się od dokładnej średniej o 1/3 cm, czyli o 4% tej średniej.

\[8+\frac{1}{3}=\frac{25}{3},\qquad \frac{\frac{1}{3}}{\frac{25}{3}}=\frac{1}{25}=4\%\]

Zadanie 27

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż nierówność $2x^2-4x>3x^2-6x$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Dzięki temu porównujemy iloczyn z zerem.

\[2x^2-4x>3x^2-6x\iff -x^2+2x>0\iff x(x-2)<0\]

2 Wyznacz przedział

Iloczyn jest ujemny, gdy jego czynniki mają przeciwne znaki. Zachodzi to między miejscami zerowymi 0 i 2.

\[x(x-2)<0\iff 0<x<2\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest przedział $(0,2)$.

\[x\in(0,2)\]

Sprawdzenie

Dla liczby 1 z otrzymanego przedziału iloczyn jest ujemny. Poza przedziałem oba czynniki mają ten sam znak, a na jego końcach iloczyn wynosi zero, więc końce nie należą do rozwiązania.

\[1(1-2)=-1<0;\quad x\leqslant 0\ \text{lub}\ x\geqslant 2\implies x(x-2)\geqslant 0\]

Zadanie 28

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

66%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż równanie $(4-x)(x^2+2x-15)=0$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż trójmian na czynniki

Liczby 5 i −3 mają sumę 2 oraz iloczyn −15, więc pozwalają rozłożyć trójmian.

\[(4-x)(x^2+2x-15)=(4-x)(x+5)(x-3)=0\]

2 Wyznacz pierwiastki

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[4-x=0\Rightarrow x=4,\qquad x+5=0\Rightarrow x=-5,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3\]

Odpowiedź

Rozwiązania to −5, 3 i 4.

\[x\in\{-5,3,4\}\]

Sprawdzenie

Dla każdej z otrzymanych liczb jeden czynnik iloczynu jest zerem. Rozłożenie na czynniki jest równoważne danemu równaniu, więc innych rozwiązań nie ma.

\[x=-5\Rightarrow x+5=0,\qquad x=3\Rightarrow x-3=0,\qquad x=4\Rightarrow 4-x=0\]

Zadanie 29

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

30%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$. Na przyprostokątnych $AC$ i $AB$ tego trójkąta obrano odpowiednio punkty $D$ i $G$. Na przeciwprostokątnej $BC$ wyznaczono punkty $E$ i $F$ takie, że $|\angle DEC|=|\angle BGF|=90^\circ$ (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt $CDE$ jest podobny do trójkąta $FBG$.

Trójkąt prostokątny ABC z punktami D na AC, G na AB oraz E i F na BC; odcinki DE i GF oraz oznaczone kąty proste.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wskaż równoległe odcinki

Przyprostokątna AC jest prostopadła do AB. Z warunku dotyczącego kąta BGF wynika, że FG też jest prostopadły do AB, więc FG jest równoległy do CD.

\[AC\perp AB,\quad FG\perp AB\quad\Longrightarrow\quad CD\parallel FG.\]

2 Porównaj kąty

Odcinki CE i FB leżą na prostej BC, a CD jest równoległy do FG. Dlatego kąty przy C i F są równe. Kąty przy E i G są proste.

\[\angle DCE=\angle BFG,\qquad \angle DEC=\angle FGB=90^\circ.\]

3 Zastosuj cechę podobieństwa

Dwie pary odpowiednich kątów są równe, zatem trójkąty są podobne na mocy cechy kąt–kąt.

\[\triangle CDE\sim\triangle FBG\quad(C\leftrightarrow F,\ D\leftrightarrow B,\ E\leftrightarrow G).\]

Odpowiedź

Trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG.

\[\triangle CDE\sim\triangle FBG.\]

Sprawdzenie

W obu trójkątach trzeci kąt ma miarę 90° pomniejszoną o wspólną miarę kątów przy C i F, więc także kąty przy D i B są równe.

\[\angle CDE=90^\circ-\angle DCE=90^\circ-\angle BFG=\angle FBG.\]

Zadanie 30

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

23%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=2n^2+2n$ dla $n\geq 1$. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kolejnego wyrazu

Podstawiamy $n+1$ do wzoru ciągu, aby dodać dwa kolejne wyrazy.

\[a_{n+1}=2(n+1)^2+2(n+1)=2(n+1)(n+2)\]

2 Wyznaczenie sumy

Wyłączamy wspólny czynnik, aby zapisać sumę jako kwadrat.

\[a_n+a_{n+1}=2n(n+1)+2(n+1)(n+2)=2(n+1)(2n+2)=[2(n+1)]^2\]

Odpowiedź

Suma każdych dwóch kolejnych wyrazów jest kwadratem liczby naturalnej $2(n+1)$.

\[a_n+a_{n+1}=[2(n+1)]^2\]

Sprawdzenie

Dla każdego naturalnego $n\geq 1$ liczba $2(n+1)$ jest naturalna. Po rozwinięciu otrzymanego kwadratu dostajemy $4n^2+8n+4$, tyle samo co z bezpośredniego dodania wyrazów.

\[(2n^2+2n)+[2(n+1)^2+2(n+1)]=4n^2+8n+4=[2(n+1)]^2\]

Zadanie 31

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

34%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem $R=\log\frac{A}{A_0}$, gdzie $A$ oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, $A_0=10^{-4}\,\mathrm{cm}$ jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od 100 cm.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie amplitudy

Logarytm dziesiętny jest równy 6,2, więc jego argument wynosi $10^{6,2}$. Mnożymy przez amplitudę wzorcową, aby obliczyć $A$.

\[\frac{A}{A_0}=10^{6,2},\qquad A=10^{6,2}\cdot10^{-4}\,\mathrm{cm}=10^{2,2}\,\mathrm{cm}\]

2 Porównanie ze 100 cm

Ponieważ $10^{0,2}>1$, otrzymana amplituda jest większa od 100 cm.

\[A=10^2\cdot10^{0,2}\,\mathrm{cm}>100\,\mathrm{cm}\]

Odpowiedź

Amplituda wynosi $10^{2,2}\,\mathrm{cm}$ i jest większa od 100 cm.

\[A=10^{2,2}\,\mathrm{cm}>100\,\mathrm{cm}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymanej amplitudy do podanego wzoru uzyskujemy siłę 6,2; amplituda jest dodatnia i ma jednostkę centymetrów.

\[\log\frac{10^{2,2}\,\mathrm{cm}}{10^{-4}\,\mathrm{cm}}=\log 10^{6,2}=6,2\]

Zadanie 32

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

56%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o $50^\circ$. Oblicz kąty tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie kątów

Oznaczmy mniejszy z dwóch kątów różniących się o 50° przez x. Drugi ma wtedy x+50°, a trzeci 3x.

\[x,\quad x+50^\circ,\quad 3x\]

2 Suma kątów

Suma kątów w trójkącie wynosi 180°, więc układamy i rozwiązujemy równanie.

\[x+(x+50^\circ)+3x=180^\circ\quad\Rightarrow\quad 5x=130^\circ\quad\Rightarrow\quad x=26^\circ\]

3 Obliczenie pozostałych kątów

Podstawiamy otrzymaną wartość do oznaczeń.

\[x+50^\circ=76^\circ,\qquad 3x=78^\circ\]

Odpowiedź

Kąty trójkąta mają miary 26°, 76° i 78°.

\[26^\circ,\ 76^\circ,\ 78^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty są dodatnie i sumują się do 180°. Dwa wskazane kąty różnią się o 50°, a trzeci jest trzy razy większy od mniejszego z nich.

\[26^\circ+76^\circ+78^\circ=180^\circ,\quad 76^\circ-26^\circ=50^\circ,\quad 78^\circ=3\cdot26^\circ\]

Zadanie 33

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

32%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego $ABCS$ jest trójkąt równoboczny $ABC$. Wysokość $SO$ tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa $ABCS$ oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie boku podstawy

Dla boku $a$ wysokość trójkąta równobocznego, a więc także ostrosłupa, wynosi $\frac{a\sqrt3}{2}$. Podstawiamy te wartości do wzoru na objętość.

\[27=\frac13\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a^3}{8},\qquad a=6\]

2 Wysokość ściany bocznej

Niech $M$ będzie środkiem boku $AB$. Punkt $O$ jest środkiem trójkąta równobocznego, więc $OM$ stanowi jedną trzecią wysokości podstawy. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $SOM$ obliczamy $SM$.

\[SO=3\sqrt3,\qquad OM=\sqrt3,\qquad SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{27+3}=\sqrt{30}\]

3 Pole powierzchni bocznej

Trzy ściany boczne są przystającymi trójkątami o podstawie $6$ i wysokości $\sqrt{30}$.

\[P_b=3\cdot\frac12\cdot6\cdot\sqrt{30}=9\sqrt{30}\]

4 Cosinus kąta

Rzutem wysokości ściany $SM$ na płaszczyznę podstawy jest $OM$. Szukany kąt to zatem kąt $SMO$, którego cosinus obliczamy w trójkącie prostokątnym $SOM$.

\[\cos\angle SMO=\frac{OM}{SM}=\frac{\sqrt3}{\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{10}}{10}\]

Odpowiedź

Pole powierzchni bocznej wynosi 9√30, a cosinus szukanego kąta wynosi √10/10.

\[P_b=9\sqrt{30},\qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}\]

Sprawdzenie

Dla boku 6 objętość wynosi 27. Ponadto kwadrat obliczonej wysokości ściany jest równy sumie kwadratów SO i OM, a cosinus należy do przedziału od 0 do 1.

\[V=\frac13\cdot9\sqrt3\cdot3\sqrt3=27,\qquad (\sqrt{30})^2=(3\sqrt3)^2+(\sqrt3)^2=30,\qquad 0<\frac{\sqrt{10}}{10}<1\]

Zadanie 34

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt