Otwarte2 pkt
23%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2n^2+2n\) dla \(n\geq 1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie kolejnego wyrazu
Podstawiamy \(n+1\) do wzoru ciągu, aby dodać dwa kolejne wyrazy.
\[a_{n+1}=2(n+1)^2+2(n+1)=2(n+1)(n+2)\]
2 Wyznaczenie sumy
Wyłączamy wspólny czynnik, aby zapisać sumę jako kwadrat.
\[a_n+a_{n+1}=2n(n+1)+2(n+1)(n+2)=2(n+1)(2n+2)=[2(n+1)]^2\]
Odpowiedź
Suma każdych dwóch kolejnych wyrazów jest kwadratem liczby naturalnej \(2(n+1)\).
\[a_n+a_{n+1}=[2(n+1)]^2\]
Sprawdzenie
Dla każdego naturalnego \(n\geq 1\) liczba \(2(n+1)\) jest naturalna. Po rozwinięciu otrzymanego kwadratu dostajemy \(4n^2+8n+4\), tyle samo co z bezpośredniego dodania wyrazów.
\[(2n^2+2n)+[2(n+1)^2+2(n+1)]=4n^2+8n+4=[2(n+1)]^2\]