Zadanie 29 — matura 2016, maj | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

30%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Na przyprostokątnych \(AC\) i \(AB\) tego trójkąta obrano odpowiednio punkty \(D\) i \(G\). Na przeciwprostokątnej \(BC\) wyznaczono punkty \(E\) i \(F\) takie, że \(|\angle DEC|=|\angle BGF|=90^\circ\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt \(CDE\) jest podobny do trójkąta \(FBG\).

Trójkąt prostokątny ABC z punktami D na AC, G na AB oraz E i F na BC; odcinki DE i GF oraz oznaczone kąty proste.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wskaż równoległe odcinki

Przyprostokątna AC jest prostopadła do AB. Z warunku dotyczącego kąta BGF wynika, że FG też jest prostopadły do AB, więc FG jest równoległy do CD.

\[AC\perp AB,\quad FG\perp AB\quad\Longrightarrow\quad CD\parallel FG.\]

2 Porównaj kąty

Odcinki CE i FB leżą na prostej BC, a CD jest równoległy do FG. Dlatego kąty przy C i F są równe. Kąty przy E i G są proste.

\[\angle DCE=\angle BFG,\qquad \angle DEC=\angle FGB=90^\circ.\]

3 Zastosuj cechę podobieństwa

Dwie pary odpowiednich kątów są równe, zatem trójkąty są podobne na mocy cechy kąt–kąt.

\[\triangle CDE\sim\triangle FBG\quad(C\leftrightarrow F,\ D\leftrightarrow B,\ E\leftrightarrow G).\]

Odpowiedź

Trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG.

\[\triangle CDE\sim\triangle FBG.\]

Sprawdzenie

W obu trójkątach trzeci kąt ma miarę 90° pomniejszoną o wspólną miarę kątów przy C i F, więc także kąty przy D i B są równe.

\[\angle CDE=90^\circ-\angle DCE=90^\circ-\angle BFG=\angle FBG.\]