Zadanie 24 — matura 2016, maj | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt $\alpha$ o mierze

$Rysunek graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z zaznaczonym przekrojem przechodzącym przez przekątną dolnej podstawy i wierzchołek górnej podstawy. Zaznaczono kąt $\alpha$ między płaszczyzną przekroju a podstawą.$

$30^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

$75^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie odcinka w podstawie

Niech d oznacza przekątną podstawy, h wysokość graniastosłupa, a O środek podstawy. W kwadracie przekątne są prostopadłe i dzielą się na połowy, więc odległość wierzchołka B, leżącego pod wskazanym wierzchołkiem górnej podstawy, od przekątnej zawartej w przekroju wynosi d/2.

\[OB=\frac d2,\qquad d=2h\]

2 Obliczenie kąta między płaszczyznami

Odcinek OB jest prostopadły do przekątnej podstawy. Odcinek łączący O z wierzchołkiem T górnej podstawy też jest do niej prostopadły, dlatego kąt TOB jest kątem między płaszczyzną przekroju a podstawą. W trójkącie prostokątnym OBT przyprostokątna BT ma długość h.

\[\tan\alpha=\frac{BT}{OB}=\frac{h}{d/2}=\frac{2h}{2h}=1,\qquad \alpha=45^\circ\]

Odpowiedź

B. Kąt ma miarę 45°.

\[\boxed{\alpha=45^\circ}\]

Sprawdzenie

Dla d=2h odcinki OB i BT mają tę samą długość h, więc trójkąt prostokątny OBT jest równoramienny. Jego kąt przy O rzeczywiście ma 45°.

\[OB=\frac{2h}{2}=h=BT\]