Zamknięte1 pkt
Trygonometria
58%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze \(31^\circ\) (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału
A
\(\left\langle\frac{9}{2},\frac{11}{2}\right\rangle\)
B
\(\left(\frac{11}{2},\frac{13}{2}\right\rangle\)
C
\(\left(\frac{13}{2},\frac{19}{2}\right\rangle\)
D
\(\left(\frac{19}{2},\frac{37}{2}\right\rangle\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie odległości
Opuszczamy z punktu \(S\) prostopadłą na prostą \(AB\) i oznaczamy jej podstawę przez \(H\). W trójkącie prostokątnym \(AHS\) odległość środka od cięciwy to bok naprzeciw kąta \(31^\circ\).
\[\sin 31^\circ=\frac{SH}{AS}=\frac{SH}{10},\qquad SH=10\sin 31^\circ\]
2 Wybór przedziału
Obliczamy przybliżenie odległości i porównujemy je z końcami przedziałów.
\[SH\approx 10\cdot 0{,}5150=5{,}150,\qquad \frac92<5{,}150<\frac{11}{2}\]
Odpowiedź
Odległość wynosi około \(5{,}15\) i należy do przedziału A.
\[SH=10\sin 31^\circ\in\left\langle\frac92,\frac{11}{2}\right\rangle\]
Sprawdzenie
Otrzymana odległość jest dodatnia i mniejsza od promienia \(10\), a jej przybliżenie leży między \(4{,}5\) a \(5{,}5\).
\[0<5{,}150<10,\qquad 4{,}5<5{,}150<5{,}5\]