Zamknięte1 pkt
Liczby rzeczywiste
68%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Liczba \(\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{2})\) jest równa
A
\(\frac{3}{2}\)
B
\(2\)
C
\(\frac{5}{2}\)
D
\(3\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisz liczby jako potęgi dwójki
Sprowadzamy podstawę i liczbę logarytmowaną do tej samej podstawy, aby porównać wykładniki.
\[\sqrt{2}=2^{\frac12},\qquad 2\sqrt{2}=2^{\frac32}\]
2 Oblicz logarytm
Logarytm potęgi o tej samej podstawie jest jej wykładnikiem, więc dzielimy wykładniki potęg dwójki.
\[\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{2})=\log_{2^{\frac12}}(2^{\frac32})=\frac{\frac32}{\frac12}=3\]
Odpowiedź
Odpowiedź D: 3.
\[\boxed{3}\]
Sprawdzenie
Podstawa logarytmu jest dodatnia i różna od 1, a liczba logarytmowana jest dodatnia. Ponadto trzecia potęga podstawy daje liczbę logarytmowaną.
\[\sqrt{2}>0,\quad \sqrt{2}\ne 1,\quad 2\sqrt{2}>0,\quad (\sqrt{2})^3=2\sqrt{2}\]