Zadanie 33 — matura 2016, maj | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

32%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Wysokość \(SO\) tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa \(ABCS\) oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie boku podstawy

Dla boku \(a\) wysokość trójkąta równobocznego, a więc także ostrosłupa, wynosi \(\frac{a\sqrt3}{2}\). Podstawiamy te wartości do wzoru na objętość.

\[27=\frac13\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a^3}{8},\qquad a=6\]

2 Wysokość ściany bocznej

Niech \(M\) będzie środkiem boku \(AB\). Punkt \(O\) jest środkiem trójkąta równobocznego, więc \(OM\) stanowi jedną trzecią wysokości podstawy. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(SOM\) obliczamy \(SM\).

\[SO=3\sqrt3,\qquad OM=\sqrt3,\qquad SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{27+3}=\sqrt{30}\]

3 Pole powierzchni bocznej

Trzy ściany boczne są przystającymi trójkątami o podstawie \(6\) i wysokości \(\sqrt{30}\).

\[P_b=3\cdot\frac12\cdot6\cdot\sqrt{30}=9\sqrt{30}\]

4 Cosinus kąta

Rzutem wysokości ściany \(SM\) na płaszczyznę podstawy jest \(OM\). Szukany kąt to zatem kąt \(SMO\), którego cosinus obliczamy w trójkącie prostokątnym \(SOM\).

\[\cos\angle SMO=\frac{OM}{SM}=\frac{\sqrt3}{\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{10}}{10}\]

Odpowiedź

Pole powierzchni bocznej wynosi 9√30, a cosinus szukanego kąta wynosi √10/10.

\[P_b=9\sqrt{30},\qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}\]

Sprawdzenie

Dla boku 6 objętość wynosi 27. Ponadto kwadrat obliczonej wysokości ściany jest równy sumie kwadratów SO i OM, a cosinus należy do przedziału od 0 do 1.

\[V=\frac13\cdot9\sqrt3\cdot3\sqrt3=27,\qquad (\sqrt{30})^2=(3\sqrt3)^2+(\sqrt3)^2=30,\qquad 0<\frac{\sqrt{10}}{10}<1\]