Zamknięte1 pkt
Planimetria
60%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Okręgi o promieniach \(3\) i \(4\) są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu \(4\) w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu \(3\) (zobacz rysunek).
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe
A
\(14\)
B
\(2\sqrt{33}\)
C
\(4\sqrt{33}\)
D
\(12\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Odległość między środkami
Okręgi są styczne zewnętrznie, więc odległość między ich środkami jest sumą promieni.
\[O_1O_2=3+4=7\]
2 Długość odcinka stycznej
Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przyprostokątną \(O_1P\).
\[O_1P=\sqrt{O_1O_2^2-O_2P^2}=\sqrt{7^2-4^2}=\sqrt{33}\]
3 Pole trójkąta
Odcinki \(O_1P\) i \(O_2P\) są prostopadłe, więc pole jest połową iloczynu ich długości.
\[S=\frac12\cdot\sqrt{33}\cdot4=2\sqrt{33}\]
Odpowiedź
Pole wynosi \(2\sqrt{33}\). Odpowiedź B.
\[S=2\sqrt{33}\]
Sprawdzenie
Długości przyprostokątnych spełniają twierdzenie Pitagorasa: \(33+16=49=7^2\), a obliczone pole odpowiada odpowiedzi B.
\[(\sqrt{33})^2+4^2=7^2\]