Zamknięte1 pkt
Stereometria
69%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy \(3:2\). Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa \(12\ \mathrm{cm}^{3}\).
Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa
A
\(20\ \mathrm{cm}^{3}\)
B
\(30\ \mathrm{cm}^{3}\)
C
\(39\ \mathrm{cm}^{3}\)
D
\(52{,}5\ \mathrm{cm}^{3}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Porównanie objętości
Stożki mają takie same podstawy, więc ze wzoru na objętość stożka wynika, że ich objętości są proporcjonalne do wysokości.
\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h,\qquad V_{\text{wyższego}}:V_{\text{niższego}}=3:2\]
2 Obliczenie objętości bryły
Objętość niższego stożka, równa \(12\ \mathrm{cm}^3\), odpowiada dwóm częściom stosunku. Obliczamy objętość wyższego stożka i dodajemy obie objętości.
\[V_{\text{wyższego}}=12\cdot\frac{3}{2}=18\ \mathrm{cm}^3,\qquad V_{\text{bryły}}=18+12=30\ \mathrm{cm}^3\]
Odpowiedź
B. Objętość bryły wynosi 30 cm³.
\[V_{\text{bryły}}=30\ \mathrm{cm}^3\]
Sprawdzenie
Obliczone objętości mają wymagany stosunek 3:2, a ich suma wynosi 30 cm³.
\[18:12=3:2,\qquad 18+12=30\]