Otwarte2 pkt
Równania i nierówności
57%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Rozwiąż nierówność \(2(x-1)(x+3)>x-1\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przenieś wyrazy na jedną stronę
Sprowadzamy nierówność do postaci, w której można zbadać znak iloczynu.
\[2(x-1)(x+3)-(x-1)>0\iff(x-1)(2x+5)>0\]
2 Wyznacz miejsca zerowe
Czynniki zmieniają znak w swoich miejscach zerowych.
\[x-1=0\iff x=1,\qquad 2x+5=0\iff x=-\frac52\]
3 Zbadaj znak iloczynu
Iloczyn dwóch czynników jest dodatni, gdy oba mają ten sam znak. Nierówność jest ostra, więc miejsc zerowych nie włączamy.
\[(x-1)(2x+5)>0\iff x<-\frac52\ \text{lub}\ x>1\]
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań jest suma dwóch przedziałów otwartych.
\[x\in\left(-\infty,-\frac52\right)\cup(1,\infty)\]
Sprawdzenie
Dla x=0, leżącego między miejscami zerowymi, otrzymujemy −5<0, więc ten przedział odpada. W obu miejscach zerowych iloczyn wynosi 0, dlatego końce nie należą do rozwiązania.
\[(0-1)(2\cdot0+5)=-5<0,\qquad \left(-\frac52-1\right)\left(2\cdot\left(-\frac52\right)+5\right)=0,\qquad (1-1)(2\cdot1+5)=0\]