Matematyka — matura 2020

Wartość wyrażenia \(x^2-6x+9\) dla \(x=\sqrt{3}+3\) jest równa

Liczba \(\frac{2^{50}\cdot 3^{40}}{36^{10}}\) jest równa

Liczba \(\log_{5}\sqrt{125}\) jest równa

Cenę \(x\) pewnego towaru obniżono o \(20\%\) i otrzymano cenę \(y\). Aby przywrócić cenę \(x\), nową cenę \(y\) należy podnieść o

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(3(1-x)>2(3x-1)-12x\) jest przedział

Suma wszystkich rozwiązań równania \(x(x-3)(x+2)=0\) jest równa

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=a(x-1)(x-3)\). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,1)\).

Współczynnik \(a\) we wzorze funkcji \(f\) jest równy

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=a(x-1)(x-3)\). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,1)\).

Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 1,4\rangle\) jest równa

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=a(x-1)(x-3)\). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,1)\).

Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) jest prosta o równaniu

Równanie \(x(x-2)=(x-2)^2\) w zbiorze liczb rzeczywistych

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax+b\).

Współczynniki \(a\) oraz \(b\) we wzorze funkcji \(f\) spełniają zależność

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=4^{-x}+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Liczba \(f\left(\frac{1}{2}\right)\) jest równa

Proste o równaniach \(y=(m-2)x\) oraz \(y=\frac{3}{4}x+7\) są równoległe. Wtedy

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2n^2\) dla \(n\geq 1\). Różnica \(a_5-a_4\) jest równa

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), czwarty wyraz jest równy 3, a różnica tego ciągu jest równa 5. Suma \(a_1+a_2+a_3+a_4\) jest równa

Punkt \(A=\left(\frac{1}{3},-1\right)\) należy do wykresu funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=3x+b\). Wynika stąd, że

Punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt środkowy \(DOC\) ma miarę \(118^\circ\) (zobacz rysunek).

Miara kąta \(ABC\) jest równa

Prosta przechodząca przez punkty \(A=(3,-2)\) i \(B=(-1,6)\) jest określona równaniem

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha\) i \(\beta\) (zobacz rysunek).

Wyrażenie \(2\cos\alpha-\sin\beta\) jest równe

Punkt \(B\) jest obrazem punktu \(A=(-3,5)\) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka \(AB\) jest równa

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których cyfry się nie powtarzają?

Pole prostokąta \(ABCD\) jest równe 90. Na bokach \(AB\) i \(CD\) wybrano – odpowiednio – punkty \(P\) i \(R\), takie, że \(\frac{|AP|}{|PB|}=\frac{|CR|}{|RD|}=\frac{3}{2}\) (zobacz rysunek).

Pole czworokąta \(APCR\) jest równe

Cztery liczby: \(2,\ 3,\ a,\ 8\), tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: \(5,\ 3,\ 6,\ 8,\ 2\). Zatem

Przekątna sześcianu ma długość \(4\sqrt{3}\). Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy \(3:2\). Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa \(12\ \mathrm{cm}^{3}\).

Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa

Rozwiąż nierówność \(2(x-1)(x+3)>x-1\).

Rozwiąż równanie \((x^{2}-1)(x^{2}-2x)=0\).

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a(a-2b)+2b^{2}>0\).

Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny. Punkt \(E\) leży na wysokości \(CD\) tego trójkąta oraz \(|CE|=\frac{3}{4}|CD|\). Punkt \(F\) leży na boku \(BC\) i odcinek \(EF\) jest prostopadły do \(BC\) (zobacz rysunek).

Wykaż, że \(|CF|=\frac{9}{16}|CB|\).

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\frac{2\sin\alpha+3\cos\alpha}{\cos\alpha}=4\). Oblicz tangens kąta \(\alpha\).

Dany jest kwadrat \(ABCD\), w którym \(A=\left(5,-\frac{5}{3}\right)\). Przekątna \(BD\) tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu \(y=\frac{4}{3}x\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) oraz pole kwadratu \(ABCD\).

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(6a_1-5a_2+a_3=0\). Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu należący do przedziału \(\langle 2\sqrt{2},3\sqrt{2}\rangle\).

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\), którego krawędź boczna ma długość \(6\) (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy \(\sqrt{7}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.