Zadanie 34 — matura 2020, termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

21%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\), którego krawędź boczna ma długość \(6\) (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy \(\sqrt{7}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rysunek ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS z krawędzią boczną SC oznaczoną liczbą 6.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości

Niech O będzie środkiem kwadratu ABCD, a M środkiem boku BC. W ostrosłupie prawidłowym SO jest wysokością, a kąt SMO jest kątem nachylenia ściany bocznej do podstawy. Ponieważ OM jest połową boku podstawy, z definicji tangensa wyznaczamy wysokość h.

\[OM=\frac a2,\qquad \tan\angle SMO=\frac{SO}{OM}=\sqrt7,\qquad h=SO=\frac{a\sqrt7}{2}\]

2 Obliczenie boku podstawy

Przekątna kwadratu ma długość a√2, więc OC jest połową przekątnej. W trójkącie prostokątnym SOC stosujemy twierdzenie Pitagorasa; SC=6.

\[OC=\frac{a\sqrt2}{2},\qquad 6^2=\left(\frac{a\sqrt7}{2}\right)^2+\left(\frac{a\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{9a^2}{4},\qquad a=4,\quad h=2\sqrt7\]

3 Obliczenie objętości

Pole kwadratowej podstawy wynosi a². Podstawiamy je i wysokość do wzoru na objętość ostrosłupa.

\[V=\frac13a^2h=\frac13\cdot 4^2\cdot 2\sqrt7=\frac{32\sqrt7}{3}\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi \(\frac{32\sqrt7}{3}\) jednostek sześciennych.

\[V=\frac{32\sqrt7}{3}\]

Sprawdzenie

Dla boku podstawy 4 odległość O od boku BC wynosi 2, więc tangens kąta nachylenia to \(2\sqrt7/2=\sqrt7\). Krawędź boczna ma długość \(\sqrt{(2\sqrt7)^2+(2\sqrt2)^2}=6\), zgodnie z danymi.

\[\frac{h}{OM}=\frac{2\sqrt7}{2}=\sqrt7,\qquad SC=\sqrt{28+8}=6\]