Otwarte4 pkt
Ciągi
32%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(6a_1-5a_2+a_3=0\). Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu należący do przedziału \(\langle 2\sqrt{2},3\sqrt{2}\rangle\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisanie wyrazów przez iloraz
W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez q. Ponieważ wszystkie wyrazy są dodatnie, a₁>0.
\[a_2=a_1q,\qquad a_3=a_1q^2\]
2 Wyznaczenie możliwych ilorazów
Podstawiamy te wyrazy do warunku i dzielimy przez niezerowe a₁.
\[6a_1-5a_1q+a_1q^2=0\quad\Longrightarrow\quad q^2-5q+6=(q-2)(q-3)=0\quad\Longrightarrow\quad q=2\ \text{lub}\ q=3\]
3 Wybór ilorazu z przedziału
Liczba 2 jest mniejsza od lewego końca przedziału. Liczba 3 należy do przedziału, gdyż 2√2<3<3√2.
\[2<2\sqrt{2},\qquad 2\sqrt{2}<3<3\sqrt{2}\]
Odpowiedź
Iloraz ciągu wynosi 3.
\[q=3\]
Sprawdzenie
Dla q=3 warunek zadania daje zero, a q należy do wskazanego przedziału. Ponieważ a₁>0 i q>0, wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie.
\[6a_1-5(3a_1)+9a_1=0\]