Zadanie 32 — matura 2020, termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

22%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest kwadrat \(ABCD\), w którym \(A=\left(5,-\frac{5}{3}\right)\). Przekątna \(BD\) tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu \(y=\frac{4}{3}x\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) oraz pole kwadratu \(ABCD\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Równanie przekątnej AC

Przekątne kwadratu są prostopadłe. Prosta BD ma współczynnik kierunkowy \(\frac{4}{3}\), więc prosta AC, przechodząca przez A, ma współczynnik \(-\frac{3}{4}\).

\[y+\frac{5}{3}=-\frac{3}{4}(x-5)\]

2 Punkt przecięcia przekątnych

Podstawiamy równanie prostej BD do równania AC. Otrzymane współrzędne wyznaczają środek kwadratu O.

\[\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}=-\frac{3}{4}(x-5)\;\Longrightarrow\;16x+20=-9x+45\;\Longrightarrow\;x=1,\quad y=\frac{4}{3}\]

3 Pole kwadratu

Przekątne kwadratu przecinają się w połowie, zatem \(AC=2AO\). Pole kwadratu jest równe połowie kwadratu długości przekątnej.

\[AO^2=(5-1)^2+\left(-\frac{5}{3}-\frac{4}{3}\right)^2=16+9=25,\quad AC=10,\quad P=\frac{AC^2}{2}=50\]

Odpowiedź

Punkt przecięcia przekątnych ma współrzędne \(\left(1,\frac{4}{3}\right)\), a pole kwadratu wynosi \(50\).

\[O=\left(1,\frac{4}{3}\right),\qquad P=50\]

Sprawdzenie

Punkt O leży na BD. Wektor AO ma kierunek prostopadły do BD, a długość przekątnej wynosi 10, co potwierdza obliczone pole.

\[\frac{4}{3}=\frac{4}{3}\cdot1,\qquad (O-A)\cdot(3,4)=(-4,3)\cdot(3,4)=0,\qquad \frac{10^2}{2}=50\]