Otwarte2 pkt
Wyrażenia algebraiczne
20%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a(a-2b)+2b^{2}>0\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Uzupełnienie kwadratu
Przekształcamy wyrażenie w sumę kwadratów, aby ustalić jego znak.
\[a(a-2b)+2b^{2}=a^{2}-2ab+2b^{2}=(a-b)^{2}+b^{2}\]
2 Wykazanie nierówności
Ponieważ \(a\ne b\), kwadrat \((a-b)^{2}\) jest dodatni, a \(b^{2}\) jest nieujemny.
\[(a-b)^{2}>0,\quad b^{2}\ge 0\quad\Longrightarrow\quad (a-b)^{2}+b^{2}>0\]
Odpowiedź
Dla każdych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) podana nierówność jest prawdziwa.
\[a(a-2b)+2b^{2}>0\]
Sprawdzenie
Suma mogłaby być równa zeru tylko wtedy, gdy jednocześnie \(a-b=0\) i \(b=0\). Pierwszy z tych warunków oznacza \(a=b\), co przeczy założeniu.
\[(a-b)^{2}+b^{2}=0\ \Longrightarrow\ a=b\]