Zadanie 29 — matura 2020, termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

16%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny. Punkt \(E\) leży na wysokości \(CD\) tego trójkąta oraz \(|CE|=\frac{3}{4}|CD|\). Punkt \(F\) leży na boku \(BC\) i odcinek \(EF\) jest prostopadły do \(BC\) (zobacz rysunek).

Wykaż, że \(|CF|=\frac{9}{16}|CB|\).

Trójkąt równoboczny ABC z wysokością CD, punktem E na CD i punktem F na boku BC. Odcinek EF jest prostopadły do BC.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wysokości

W trójkącie równobocznym wysokość dzieli podstawę na połowy. Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy stosunek wysokości do boku.

\[|DB|=\frac12|CB|,\qquad |CD|^2=|CB|^2-|DB|^2=\frac34|CB|^2\]

2 Podobieństwo trójkątów

Trójkąty \(CEF\) i \(CBD\) są prostokątne i mają wspólny kąt przy \(C\), więc są podobne. Odpowiadają sobie boki \(CF\) i \(CD\) oraz \(CE\) i \(CB\).

\[\frac{|CF|}{|CD|}=\frac{|CE|}{|CB|}\]

3 Wyznaczenie długości \(CF\)

Podstawiamy podaną długość \(CE\) oraz obliczony kwadrat wysokości.

\[|CF|=\frac{|CE|\,|CD|}{|CB|}=\frac34\frac{|CD|^2}{|CB|}=\frac34\cdot\frac34|CB|=\frac9{16}|CB|\]

Odpowiedź

Wykazano żądaną równość.

\[|CF|=\frac9{16}|CB|\]

Sprawdzenie

Otrzymany stosunek spełnia warunek, że punkt \(F\) leży na boku \(BC\).

\[0<\frac{|CF|}{|CB|}=\frac9{16}<1\]