Zamknięte1 pkt
Trygonometria
68%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha\) i \(\beta\) (zobacz rysunek).
Wyrażenie \(2\cos\alpha-\sin\beta\) jest równe
A
\(2\sin\beta\)
B
\(\cos\alpha\)
C
\(0\)
D
\(2\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zależność między kątami
W trójkącie prostokątnym kąty ostre sumują się do \(90^\circ\), więc sinus jednego jest cosinusem drugiego.
\[\alpha+\beta=90^\circ,\qquad \sin\beta=\cos\alpha\]
2 Uproszczenie wyrażenia
Podstawiamy tę równość i redukujemy wyrazy podobne.
\[2\cos\alpha-\sin\beta=2\cos\alpha-\cos\alpha=\cos\alpha\]
Odpowiedź
Odpowiedź B.
\[\cos\alpha\]
Sprawdzenie
Z rysunku kąty \(\alpha\) i \(\beta\) są ostre w tym samym trójkącie prostokątnym, więc są dopełniające. Podstawienie \(\sin\beta=\cos\alpha\) do wyrażenia daje otrzymany wynik.
\[2\cos\alpha-\sin\beta=\cos\alpha\]