Zadanie 21 — matura 2015, maj | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(EFGHIJKL\) wierzchołki \(E\), \(G\), \(L\) połączono odcinkami (tak jak na rysunku).

Wskaż kąt między wysokością \(OL\) trójkąta \(EGL\) i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.

Rysunek graniastosłupa prawidłowego czworokątnego EFGHIJKL z odcinkami EG, EL i GL oraz punktem O na odcinku EG.

\(\angle HOL\)

\(\angle OGL\)

\(\angle HLO\)

\(\angle OHL\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rzutu odcinka

W graniastosłupie prawidłowym krawędź \(LH\) jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, więc rzutem punktu \(L\) na tę płaszczyznę jest \(H\). Punkt \(O\) leży na przekątnej podstawy \(EG\), zatem jego rzutem jest on sam. Rzutem odcinka \(OL\) jest więc \(OH\).

\[L\mapsto H,\quad O\mapsto O,\quad OL\mapsto OH\]

2 Wskazanie kąta

Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę.

\[\angle(OL,\text{płaszczyzna podstawy})=\angle HOL\]

Odpowiedź

A — kąt HOL.

\[\boxed{\angle HOL}\]

Sprawdzenie

Oba ramiona kąta wychodzą z punktu O: OL jest wskazaną wysokością trójkąta, a OH leży w podstawie i jest rzutem OL. Kąt HOL spełnia więc definicję szukanego kąta.

\[LH\perp(EFGH),\quad OH\subset(EFGH)\]