Matematyka — matura 2015

85%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Suma wszystkich pierwiastków równania \((x+3)(x+7)(x-11)=0\) jest równa

\(-1\)

\(21\)

\(1\)

\(-21\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pierwiastków

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x+3=0\Rightarrow x=-3,\quad x+7=0\Rightarrow x=-7,\quad x-11=0\Rightarrow x=11\]

2 Obliczenie sumy

Dodajemy wszystkie trzy pierwiastki.

\[-3+(-7)+11=1\]

Odpowiedź

Suma pierwiastków wynosi 1. Odpowiedź C.

\[\boxed{1}\]

Sprawdzenie

Liczby −3, −7 i 11 zerują odpowiednio pierwszy, drugi i trzeci czynnik. Każdy czynnik liniowy daje jeden pierwiastek, więc są to wszystkie pierwiastki; ich suma wynosi 1.

\[(-3)+(-7)+11=1\]

Zadanie 7

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

66%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Równanie \(\frac{x-1}{x+1}=x-1\)

ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=1\).

ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=0\).

ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=-1\).

ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=0\), \(x=1\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Dziedzina

Mianownik nie może być zerem, więc wykluczamy \(x=-1\).

\[x+1\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq -1\]

2 Przekształcenie równania

Dla \(x\neq -1\) mnożymy obie strony przez \(x+1\), a następnie przenosimy wyrazy na jedną stronę.

\[x-1=(x-1)(x+1)\quad\Longrightarrow\quad 0=x(x-1)\]

3 Rozwiązania

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest zerem. Obie otrzymane liczby należą do dziedziny.

\[x=0\quad\text{lub}\quad x=1\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=0\) i \(x=1\). Odpowiedź D.

\[x\in\{0,1\}\quad\text{— D}\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\) obie strony równania są równe \(-1\), a dla \(x=1\) obie są równe \(0\). Żadna z tych wartości nie zeruje mianownika.

\[x=0:\ \frac{0-1}{0+1}=-1=0-1;\qquad x=1:\ \frac{1-1}{1+1}=0=1-1\]

Zadanie 8

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

22%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest

Wykres funkcji f w układzie współrzędnych z osiami x i y oraz siatką. Lewa część biegnie od punktu zamkniętego (-3,-1) przez (-2,-1) i (-1,0) do punktu otwartego (0,-2). Prawa część biegnie od punktu otwartego (0,2) przez (1,2) i (2,-1) do punktu zamkniętego (4,-1).

\((-2,2)\)

\(\langle-2,2)\)

\(\langle-2,2\rangle\)

\((-2,2\rangle\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wartości lewej części wykresu

Wykres zbliża się do wysokości −2, ale punkt na tej wysokości jest otwarty. Osiąga natomiast wysokość 0.

\[W_1=(-2,0]\]

2 Wartości prawej części wykresu

Ta część wykresu osiąga zarówno wysokość −1, jak i 2, oraz wszystkie wartości pomiędzy nimi.

\[W_2=[-1,2]\]

3 Połączenie przedziałów

Zbiór wartości całej funkcji jest sumą wartości obu części wykresu.

\[W_f=(-2,0]\cup[-1,2]=(-2,2]\]

Odpowiedź

Zbiór wartości funkcji to przedział od −2 bez tej liczby do 2 włącznie. Odpowiedź D.

\[W_f=(-2,2]\]

Sprawdzenie

Wartość −2 nie jest przyjmowana, bo odpowiada jej punkt otwarty. Wartość 2 jest przyjmowana dla x=1. Odcinki wykresu obejmują wszystkie wysokości między tymi wartościami.

\[f(1)=2,\qquad -2\notin W_f\]

Zadanie 9

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

80%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem \(f(x)=(m-1)x+3\) leży punkt \(S=(5,-2)\). Zatem

\(m=-1\)

\(m=0\)

\(m=1\)

\(m=2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie współrzędnych punktu

Punkt leży na wykresie, więc dla x=5 wartość funkcji wynosi -2.

\[-2=5(m-1)+3\]

2 Wyznaczenie parametru

Odejmujemy 3 od obu stron, a następnie dzielimy przez 5.

\[-5=5(m-1)\quad\Rightarrow\quad -1=m-1\quad\Rightarrow\quad m=0\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: m=0.

\[m=0\]

Sprawdzenie

Dla m=0 otrzymujemy f(5)=-2, więc punkt S należy do wykresu.

\[f(5)=(0-1)\cdot 5+3=-2\]

Zadanie 10

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=2x+b\) ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa \(g(x)=-3x+4\). Stąd wynika, że

\(b=4\)

\(b=-\frac{3}{2}\)

\(b=-\frac{8}{3}\)

\(b=\frac{4}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsca zerowego

Przyrównujemy wartość funkcji g do zera, ponieważ szukamy jej miejsca zerowego.

\[-3x+4=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{4}{3}\]

2 Obliczenie b

Funkcja f ma to samo miejsce zerowe, więc podstawiamy do niej \(x=\frac{4}{3}\) i przyrównujemy wynik do zera.

\[2\cdot\frac{4}{3}+b=0\quad\Rightarrow\quad b=-\frac{8}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: \(b=-\frac{8}{3}\).

\[b=-\frac{8}{3}\]

Sprawdzenie

Dla \(x=\frac{4}{3}\) obie funkcje przyjmują wartość zero.

\[g\left(\frac{4}{3}\right)=-3\cdot\frac{4}{3}+4=0,\qquad f\left(\frac{4}{3}\right)=2\cdot\frac{4}{3}-\frac{8}{3}=0\]

Zadanie 11

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

75%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem \(f(x)=x^2+x+c\). Jeżeli \(f(3)=4\), to

\(f(1)=-6\)

\(f(1)=0\)

\(f(1)=6\)

\(f(1)=18\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie c

Podstawiamy x=3 do wzoru funkcji i korzystamy z warunku f(3)=4.

\[3^2+3+c=4\;\Rightarrow\;12+c=4\;\Rightarrow\;c=-8\]

2 Obliczenie f(1)

Podstawiamy x=1 oraz wyznaczoną wartość c.

\[f(1)=1^2+1-8=-6\]

Odpowiedź

f(1)=-6, odpowiedź A.

\[f(1)=-6\]

Sprawdzenie

Dla c=-8 otrzymujemy f(3)=4, więc wyznaczona wartość spełnia warunek zadania.

\[f(3)=3^2+3-8=4\]

Zadanie 12

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ile liczb całkowitych \(x\) spełnia nierówność \(\frac{2}{7}<\frac{x}{14}<\frac{4}{3}\)?

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń mianownik

Mnożymy nierówność przez dodatnie 14, więc jej zwroty się nie zmieniają.

\[\frac{2}{7}<\frac{x}{14}<\frac{4}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad 4<x<\frac{56}{3}\]

2 Policz liczby całkowite

Ponieważ \(\frac{56}{3}=18\frac{2}{3}\), najmniejszą możliwą liczbą jest 5, a największą 18.

\[x\in\{5,6,\ldots,18\},\qquad 18-5+1=14\]

Odpowiedź

Nierówność spełnia 14 liczb całkowitych. Odpowiedź A.

\[14\]

Sprawdzenie

Liczba 4 nie spełnia ostrej dolnej nierówności, a 19 przekracza górną granicę. Zatem wszystkie i tylko liczby od 5 do 18 są rozwiązaniami.

\[4\not>4,\qquad 18<\frac{56}{3}<19\]

Zadanie 13

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

66%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W rosnącym ciągu geometrycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), spełniony jest warunek \(a_4=3a_1\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy

\(q=\frac{1}{3}\)

\(q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)

\(q=\sqrt[3]{3}\)

\(q=3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz czwarty wyraz

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez \(q\).

\[a_4=a_1q^3\]

2 Wyznacz iloraz

Ciąg jest rosnący, więc \(a_1\neq 0\); przy \(a_1=0\) wszystkie wyrazy byłyby zerowe. Możemy podzielić warunek przez \(a_1\).

\[a_1q^3=3a_1\;\Rightarrow\;q^3=3\;\Rightarrow\;q=\sqrt[3]{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[q=\sqrt[3]{3}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(q^3=3\), otrzymujemy \(a_4=3a_1\). Iloraz \(q>1\) jest zgodny z rosnącym ciągiem, gdy \(a_1>0\).

\[a_4=a_1\left(\sqrt[3]{3}\right)^3=3a_1\]

Zadanie 14

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Tangens kąta \(\alpha\) zaznaczonego na rysunku jest równy

Układ współrzędnych z osiami x i y, prostą przechodzącą przez początek układu i punkt P=(-4,5) oraz kątem α zaznaczonym przy początku układu.

\(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(-\frac{4}{5}\)

\(-1\)

\(-\frac{5}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie współrzędnych

Ramię kąta α przechodzi przez początek układu i punkt P=(-4,5), więc jego przesunięcie poziome wynosi -4, a pionowe 5.

\[\Delta x=-4,\qquad \Delta y=5\]

2 Obliczenie tangensa

Tangens kąta między dodatnią półosią x a tym ramieniem jest ilorazem przesunięcia pionowego i poziomego.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5}{-4}=-\frac{5}{4}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\operatorname{tg}\alpha=-\frac{5}{4}\]

Sprawdzenie

Kąt α jest rozwarty, więc jego tangens powinien być ujemny. Otrzymany wynik jest ujemny i odpowiada punktowi P=(-4,5).

\[-4\cdot\left(-\frac{5}{4}\right)=5\]

Zadanie 15

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Jeżeli \(0^\circ<\alpha<90^\circ\) oraz \(\operatorname{tg}\alpha=2\sin\alpha\), to

\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\)

\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\cos\alpha=1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zamiana tangensa na iloraz

Korzystamy z definicji tangensa, aby otrzymać równanie z sinusem i cosinusem.

\[\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\sin\alpha\]

2 Wyznaczenie cosinusa

Ponieważ kąt jest ostry, \(\sin\alpha>0\) i \(\cos\alpha>0\). Możemy podzielić przez sinus, a następnie pomnożyć przez cosinus.

\[\frac{1}{\cos\alpha}=2\quad\Longrightarrow\quad\cos\alpha=\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\cos\alpha=\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Dla ostrego kąta o cosinusie równym \(\frac{1}{2}\) mamy \(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Wtedy obie strony podanego równania są równe \(\sqrt{3}\).

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sin\alpha\]

Zadanie 16

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

72%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Miara kąta wpisanego w okrąg jest o \(20^\circ\) mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa

\(5^\circ\)

\(10^\circ\)

\(20^\circ\)

\(30^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie własności kątów

Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę dwa razy większą od kąta wpisanego. Oznaczamy miarę kąta wpisanego przez \(x\).

\[2x-x=20^\circ\]

2 Obliczenie kąta

Rozwiązujemy równanie, aby otrzymać miarę kąta wpisanego.

\[x=20^\circ\]

Odpowiedź

Kąt wpisany ma miarę 20°, odpowiedź C.

\[20^\circ\]

Sprawdzenie

Odpowiadający mu kąt środkowy ma miarę 40°, więc różnica wynosi wymagane 20°.

\[40^\circ-20^\circ=20^\circ\]

Zadanie 17

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

59%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę \(\alpha\). Wtedy

\(14^\circ<\alpha<15^\circ\)

\(29^\circ<\alpha<30^\circ\)

\(60^\circ<\alpha<61^\circ\)

\(75^\circ<\alpha<76^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku

Romb ma cztery równe boki, więc dzielimy obwód przez cztery.

\[a=\frac{8}{4}=2\]

2 Wyznaczenie kąta

Pole rombu jest równe iloczynowi kwadratu boku i sinusa kąta między bokami. Ponieważ \(\alpha\) jest ostry, wyznacza go jednoznacznie otrzymana wartość sinusa.

\[1=a^2\sin\alpha=4\sin\alpha,\qquad \sin\alpha=\frac14,\qquad \alpha=\arcsin\frac14\]

3 Wybór przedziału

Obliczamy przybliżenie kąta w stopniach i porównujemy je z granicami podanych przedziałów.

\[\alpha\approx14{,}4775^\circ,\qquad 14^\circ<\alpha<15^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: kąt ostry należy do przedziału od 14° do 15°.

\[14^\circ<\alpha<15^\circ\]

Sprawdzenie

Dla boku 2 obwód wynosi 8. Dokładna wartość kąta daje pole 1, a jego przybliżenie leży między 14° i 15° oraz jest kątem ostrym.

\[4a=4\cdot2=8,\qquad P=a^2\sin\alpha=4\cdot\frac14=1\]

Zadanie 18

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

77%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Prosta \(l\) o równaniu \(y=m^2x+3\) jest równoległa do prostej \(k\) o równaniu \(y=(4m-4)x-3\). Zatem

\(m=2\)

\(m=-2\)

\(m=-2-2\sqrt{2}\)

\(m=2+2\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie współczynników kierunkowych

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Dlatego przyrównujemy współczynniki przy \(x\).

\[m^2=4m-4\]

2 Wyznaczenie parametru

Przenosimy wyrazy na jedną stronę i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

\[m^2-4m+4=0\quad\Longleftrightarrow\quad(m-2)^2=0\quad\Longleftrightarrow\quad m=2\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(m=2\).

\[m=2\]

Sprawdzenie

Dla \(m=2\) oba współczynniki kierunkowe wynoszą \(4\). Wyrazy wolne to \(3\) i \(-3\), więc są to dwie różne proste równoległe.

\[m^2=2^2=4,\qquad 4m-4=4\cdot2-4=4\]

Zadanie 19

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

73%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Proste o równaniach: \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla

\(m=-\frac{1}{2}\)

\(m=\frac{1}{2}\)

\(m=1\)

\(m=2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynników kierunkowych

W równaniu prostej \(y=ax+b\) współczynnikiem kierunkowym jest \(a\).

\[a_1=2m,\qquad a_2=4m^2\]

2 Warunek prostopadłości

Dwie proste o podanych współczynnikach kierunkowych są prostopadłe, gdy ich iloczyn wynosi \(-1\).

\[(2m)(4m^2)=-1\quad\Longrightarrow\quad 8m^3=-1\quad\Longrightarrow\quad m=-\frac12\]

Odpowiedź

A. \(m=-\frac12\).

\[m=-\frac12\]

Sprawdzenie

Dla \(m=-\frac12\) współczynniki kierunkowe wynoszą \(-1\) i \(1\), a ich iloczyn to \(-1\).

\[2\left(-\frac12\right)=-1,\qquad 4\left(-\frac12\right)^2=1,\qquad (-1)\cdot1=-1\]

Zadanie 20

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

68%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dane są punkty \(M=(-2,1)\) i \(N=(-1,3)\). Punkt \(K\) jest środkiem odcinka \(\overline{MN}\). Obrazem punktu \(K\) w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt

\(K'=\left(2,-\frac{3}{2}\right)\)

\(K'=\left(2,\frac{3}{2}\right)\)

\(K'=\left(\frac{3}{2},2\right)\)

\(K'=\left(\frac{3}{2},-2\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie środka odcinka

Współrzędne środka są średnimi odpowiednich współrzędnych końców odcinka.

\[K=\left(\frac{-2+(-1)}{2},\frac{1+3}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2},2\right)\]

2 Odbicie względem początku układu

Symetria względem początku zmienia znaki obu współrzędnych.

\[K'=\left(-\left(-\frac{3}{2}\right),-2\right)=\left(\frac{3}{2},-2\right)\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[K'=\left(\frac{3}{2},-2\right)\]

Sprawdzenie

Środek odcinka łączącego punkt K z jego obrazem K′ to początek układu, więc wynik spełnia warunek symetrii.

\[\left(\frac{-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}}{2},\frac{2+(-2)}{2}\right)=(0,0)\]

Zadanie 21

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(EFGHIJKL\) wierzchołki \(E\), \(G\), \(L\) połączono odcinkami (tak jak na rysunku).

Wskaż kąt między wysokością \(OL\) trójkąta \(EGL\) i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.

Rysunek graniastosłupa prawidłowego czworokątnego EFGHIJKL z odcinkami EG, EL i GL oraz punktem O na odcinku EG.

\(\angle HOL\)

\(\angle OGL\)

\(\angle HLO\)

\(\angle OHL\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rzutu odcinka

W graniastosłupie prawidłowym krawędź \(LH\) jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, więc rzutem punktu \(L\) na tę płaszczyznę jest \(H\). Punkt \(O\) leży na przekątnej podstawy \(EG\), zatem jego rzutem jest on sam. Rzutem odcinka \(OL\) jest więc \(OH\).

\[L\mapsto H,\quad O\mapsto O,\quad OL\mapsto OH\]

2 Wskazanie kąta

Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę.

\[\angle(OL,\text{płaszczyzna podstawy})=\angle HOL\]

Odpowiedź

A — kąt HOL.

\[\boxed{\angle HOL}\]

Sprawdzenie

Oba ramiona kąta wychodzą z punktu O: OL jest wskazaną wysokością trójkąta, a OH leży w podstawie i jest rzutem OL. Kąt HOL spełnia więc definicję szukanego kąta.

\[LH\perp(EFGH),\quad OH\subset(EFGH)\]

Zadanie 22

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

82%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6. Objętość tego stożka jest równa

\(27\pi\sqrt{3}\)

\(9\pi\sqrt{3}\)

\(18\pi\)

\(6\pi\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia i wysokości

Podstawa przekroju osiowego jest średnicą podstawy stożka. Wysokość stożka jest wysokością trójkąta równobocznego.

\[2r=6\Rightarrow r=3,\qquad h=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}\]

2 Obliczenie objętości

Podstawiamy wyznaczone wymiary do wzoru na objętość stożka.

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot 3^2\cdot 3\sqrt{3}=9\pi\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[V=9\pi\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Promień 3 daje średnicę 6, a wysokość przekroju spełnia twierdzenie Pitagorasa dla połowy trójkąta równobocznego.

\[3^2+(3\sqrt{3})^2=9+27=36=6^2\]

Zadanie 23

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

66%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

\(\frac{8^2}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right)\)

\(8^2\cdot\sqrt{3}\)

\(\frac{8^2\sqrt{6}}{3}\)

\(8^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole podstaw

Podstawy są trójkątami równobocznymi o boku 8, więc korzystamy ze wzoru na ich pole.

\[2P_p=2\cdot\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=32\sqrt{3}\]

2 Pole boczne

Trzy ściany boczne są kwadratami o boku 8.

\[P_b=3\cdot8^2=192\]

3 Pole całkowite

Dodajemy pola obu podstaw i ścian bocznych, a następnie porównujemy wynik z odpowiedziami.

\[P_c=32\sqrt{3}+192=8^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right)\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[P_c=8^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right)\]

Sprawdzenie

Wynik zawiera pole trzech kwadratowych ścian bocznych oraz dwóch trójkątnych podstaw; oba składniki mają jednostkę pola.

\[8^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right)=32\sqrt{3}+192\]

Zadanie 24

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

89%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Średnia arytmetyczna zestawu danych:

\(2, 4, 7, 8, 9\)

jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych:

\(2, 4, 7, 8, 9, x\).

Wynika stąd, że

\(x=0\)

\(x=3\)

\(x=5\)

\(x=6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pierwszej średniej

Dodajemy pięć liczb i dzielimy sumę przez ich liczbę.

\[\frac{2+4+7+8+9}{5}=\frac{30}{5}=6\]

2 Wyznaczenie x

Druga średnia jest równa 6, więc układamy równanie i je rozwiązujemy.

\[\frac{30+x}{6}=6\quad\Longrightarrow\quad 30+x=36\quad\Longrightarrow\quad x=6\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: x = 6.

\[x=6\]

Sprawdzenie

Po dodaniu 6 suma wynosi 36, a średnia sześciu liczb wynosi 6, tyle samo co pierwsza średnia.

\[\frac{2+4+7+8+9+6}{6}=\frac{36}{6}=6\]

Zadanie 25

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

47%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga – niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy

\(p=\frac{1}{4}\)

\(p=\frac{3}{8}\)

\(p=\frac{1}{2}\)

\(p=\frac{2}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policzenie wszystkich wyników

Z każdego pojemnika można wylosować kulę czerwoną albo niebieską, więc liczba jednakowo prawdopodobnych wyników wynosi:

\[2\cdot2\cdot2=8\]

2 Policzenie wyników sprzyjających

Wybieramy dwa spośród trzech pojemników, z których wypadną kule czerwone. Każdy taki wynik ma prawdopodobieństwo jednej ósmej.

\[p=\frac{\binom{3}{2}}{8}=\frac{3}{8}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 3/8. Odpowiedź B.

\[p=\frac{3}{8}\]

Sprawdzenie

Wyniki z dokładnie dwiema czerwonymi kulami to: czerwona–czerwona–niebieska, czerwona–niebieska–czerwona i niebieska–czerwona–czerwona. Są trzy spośród ośmiu wyników.

\[\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\]

Zadanie 26

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

68%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x>(x+3)(x-2)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Rozwijamy nawiasy i odejmujemy prawą stronę, aby porównać wyrażenie z zerem.

\[2x^2-4x>x^2+x-6\iff x^2-5x+6>0\]

2 Wyznacz przedziały dodatniości

Rozkładamy trójmian na czynniki. Iloczyn jest dodatni, gdy oba czynniki mają ten sam znak.

\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)>0\iff x<2\ \text{lub}\ x>3\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest suma przedziałów od minus nieskończoności do 2 oraz od 3 do plus nieskończoności.

\[x\in(-\infty,2)\cup(3,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla x=0 nierówność ma postać 0>−6, więc pierwszy przedział pasuje. Dla x=5 otrzymujemy 30>24, więc drugi też pasuje. Dla x=2 i x=3 strony są równe, dlatego końce przedziałów są wyłączone.

\[x=0:\ 0>-6;\qquad x=5:\ 30>24;\qquad (x-2)(x-3)=0\ \text{dla}\ x=2,3\]

Zadanie 27

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

18%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \(4x^2-8xy+5y^2\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie jako sumy kwadratów

Uzupełniamy wyrażenie do kwadratu, aby wykazać, że jest nieujemne dla dowolnych liczb rzeczywistych.

\[4x^2-8xy+5y^2=(2x-2y)^2+y^2\]

2 Zastosowanie nieujemności kwadratów

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc ich suma również jest nieujemna.

\[(2x-2y)^2\geq 0,\quad y^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad 4x^2-8xy+5y^2\geq 0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\).

\[\forall x,y\in\mathbb{R}\quad 4x^2-8xy+5y^2\geq 0\]

Sprawdzenie

Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy oba kwadraty są równe zeru, czyli gdy \(x=y=0\). Po podstawieniu otrzymujemy \(0=0\).

\[(2x-2y)^2+y^2=0\iff y=0\ \text{oraz}\ 2x-2y=0\iff x=y=0\]

Zadanie 28

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

32%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest kwadrat \(ABCD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\). Punkty \(K\) i \(M\) są środkami odcinków – odpowiednio – \(AE\) i \(EC\). Punkty \(L\) i \(N\) leżą na przekątnej \(BD\) tak, że \(|BL|=\frac{1}{3}|BE|\) i \(|DN|=\frac{1}{3}|DE|\) (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta \(KLMN\) do pola kwadratu \(ABCD\) jest równy \(1:3\).

Kwadrat ABCD z przekątnymi AC i BD przecinającymi się w punkcie E oraz czworokątem KLMN.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość przekątnej KM

Punkt E jest środkiem przekątnej AC kwadratu. Ponieważ K i M są środkami odcinków AE i EC, odcinek KM ma połowę długości AC.

\[|KM|=|KE|+|EM|=\frac12|AE|+\frac12|EC|=\frac12|AC|\]

2 Długość przekątnej LN

W kwadracie E jest także środkiem BD, więc BE i DE mają po połowie długości BD. Odcinamy od BD części BL i DN.

\[|LN|=|BD|-|BL|-|DN|=|BD|-\frac16|BD|-\frac16|BD|=\frac23|BD|\]

3 Porównanie pól

Przekątne obu czworokątów leżą na prostopadłych przekątnych kwadratu. Pole każdego z nich jest równe połowie iloczynu długości jego przekątnych.

\[\frac{P_{KLMN}}{P_{ABCD}}=\frac{\frac12|KM|\cdot|LN|}{\frac12|AC|\cdot|BD|}=\frac{\frac12|AC|\cdot\frac23|BD|}{|AC|\cdot|BD|}=\frac13\]

Odpowiedź

Stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD wynosi 1:3.

\[P_{KLMN}:P_{ABCD}=1:3\]

Sprawdzenie

Dla boku kwadratu długości a obie jego przekątne mają długość a√2. Otrzymane długości KM i LN dają pole wewnętrznego czworokąta równe a²/3, a pole kwadratu wynosi a².

\[P_{KLMN}=\frac12\cdot\frac{a\sqrt2}{2}\cdot\frac{2a\sqrt2}{3}=\frac{a^2}{3},\qquad P_{ABCD}=a^2\]

Zadanie 29

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

51%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+3\) w przedziale \(\langle 0,4\rangle\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wierzchołka

Sprowadzamy funkcję do postaci kanonicznej, aby znaleźć jej minimum. Wierzchołek ma odciętą 3, która należy do danego przedziału.

\[f(x)=x^2-6x+3=(x-3)^2-6,\quad x_w=3\in[0,4]\]

2 Porównanie wartości

Ponieważ parabola jest skierowana ramionami w górę, minimum osiąga w wierzchołku. Największą wartość w przedziale domkniętym wyznaczamy przez porównanie wartości na jego końcach.

\[f(3)=-6,\quad f(0)=3,\quad f(4)=16-24+3=-5\]

Odpowiedź

Najmniejsza wartość to −6 dla x=3, a największa to 3 dla x=0.

\[\min_{x\in[0,4]}f(x)=-6,\qquad \max_{x\in[0,4]}f(x)=3\]

Sprawdzenie

Dla x od 0 do 4 wyrażenie (x−3)² przyjmuje wartości od 0 do 9. Zatem f(x) przyjmuje wartości od −6 do 3; oba krańce są osiągane w podanym przedziale.

\[0\le (x-3)^2\le 9\quad\Longrightarrow\quad -6\le f(x)\le 3\]

Zadanie 30

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

41%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W układzie współrzędnych są dane punkty \(A=(-43,-12)\), \(B=(50,19)\). Prosta \(AB\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie równania prostej

Obliczamy współczynnik kierunkowy z dwóch punktów, a następnie podstawiamy współrzędne punktu A.

\[a=\frac{19-(-12)}{50-(-43)}=\frac{31}{93}=\frac13,\qquad y+12=\frac13(x+43),\qquad y=\frac{x+7}{3}\]

2 Wyznaczenie punktu przecięcia z osią Ox

Każdy punkt osi Ox ma drugą współrzędną równą zero, więc podstawiamy y=0.

\[0=\frac{x+7}{3}\quad\Longrightarrow\quad x=-7\]

Odpowiedź

Pierwsza współrzędna punktu P wynosi −7.

\[P=(-7,0)\]

Sprawdzenie

Dla x=−7 równanie prostej daje y=0. Ponadto podstawienie współrzędnych A i B daje odpowiednio −12 i 19, więc jest to właściwa prosta.

\[\frac{-7+7}{3}=0,\qquad \frac{-43+7}{3}=-12,\qquad \frac{50+7}{3}=19\]

Zadanie 31

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

37%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy \(\frac{4}{7}\), a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy \(\frac{1}{2}\). Wyznacz ten ułamek.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie ułamka

Niech licznik i mianownik będą dodatnimi liczbami całkowitymi względnie pierwszymi.

\[\frac{a}{b},\quad a,b\in\mathbb{N}_{+},\quad \gcd(a,b)=1\]

2 Wykorzystanie pierwszego warunku

Dodajemy połowę licznika do licznika i mianownika, a następnie mnożymy równanie na krzyż. Mianownik jest dodatni.

\[\frac{a+\frac{a}{2}}{b+\frac{a}{2}}=\frac{4}{7}\quad\Longrightarrow\quad 7\cdot\frac{3a}{2}=4\left(b+\frac{a}{2}\right)\quad\Longrightarrow\quad 17a=8b\quad\Longrightarrow\quad\frac{a}{b}=\frac{8}{17}\]

3 Wyznaczenie licznika i mianownika

Liczby 8 i 17 są względnie pierwsze, więc nieskracalny ułamek ma licznik 8 i mianownik 17.

\[a=8,\qquad b=17\]

Odpowiedź

Szukany ułamek to \(\frac{8}{17}\).

\[\frac{8}{17}\]

Sprawdzenie

Po dodaniu połowy licznika otrzymujemy \(\frac{4}{7}\), a po dodaniu 1 otrzymujemy \(\frac{1}{2}\). Licznik i mianownik są dodatnie oraz względnie pierwsze.

\[\frac{8+4}{17+4}=\frac{12}{21}=\frac{4}{7},\qquad\frac{8+1}{17+1}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2},\qquad\gcd(8,17)=1\]

Zadanie 32

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt