Otwarte2 pkt
Równania i nierówności
68%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x>(x+3)(x-2)\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przenieś wyrazy na jedną stronę
Rozwijamy nawiasy i odejmujemy prawą stronę, aby porównać wyrażenie z zerem.
\[2x^2-4x>x^2+x-6\iff x^2-5x+6>0\]
2 Wyznacz przedziały dodatniości
Rozkładamy trójmian na czynniki. Iloczyn jest dodatni, gdy oba czynniki mają ten sam znak.
\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)>0\iff x<2\ \text{lub}\ x>3\]
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań jest suma przedziałów od minus nieskończoności do 2 oraz od 3 do plus nieskończoności.
\[x\in(-\infty,2)\cup(3,\infty)\]
Sprawdzenie
Dla x=0 nierówność ma postać 0>−6, więc pierwszy przedział pasuje. Dla x=5 otrzymujemy 30>24, więc drugi też pasuje. Dla x=2 i x=3 strony są równe, dlatego końce przedziałów są wyłączone.
\[x=0:\ 0>-6;\qquad x=5:\ 30>24;\qquad (x-2)(x-3)=0\ \text{dla}\ x=2,3\]