Otwarte2 pkt
Wyrażenia algebraiczne
18%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \(4x^2-8xy+5y^2\geq 0\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisanie jako sumy kwadratów
Uzupełniamy wyrażenie do kwadratu, aby wykazać, że jest nieujemne dla dowolnych liczb rzeczywistych.
\[4x^2-8xy+5y^2=(2x-2y)^2+y^2\]
2 Zastosowanie nieujemności kwadratów
Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc ich suma również jest nieujemna.
\[(2x-2y)^2\geq 0,\quad y^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad 4x^2-8xy+5y^2\geq 0\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\).
\[\forall x,y\in\mathbb{R}\quad 4x^2-8xy+5y^2\geq 0\]
Sprawdzenie
Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy oba kwadraty są równe zeru, czyli gdy \(x=y=0\). Po podstawieniu otrzymujemy \(0=0\).
\[(2x-2y)^2+y^2=0\iff y=0\ \text{oraz}\ 2x-2y=0\iff x=y=0\]