Zadanie 28 — matura 2015, maj | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

32%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest kwadrat \(ABCD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\). Punkty \(K\) i \(M\) są środkami odcinków – odpowiednio – \(AE\) i \(EC\). Punkty \(L\) i \(N\) leżą na przekątnej \(BD\) tak, że \(|BL|=\frac{1}{3}|BE|\) i \(|DN|=\frac{1}{3}|DE|\) (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta \(KLMN\) do pola kwadratu \(ABCD\) jest równy \(1:3\).

Kwadrat ABCD z przekątnymi AC i BD przecinającymi się w punkcie E oraz czworokątem KLMN.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość przekątnej KM

Punkt E jest środkiem przekątnej AC kwadratu. Ponieważ K i M są środkami odcinków AE i EC, odcinek KM ma połowę długości AC.

\[|KM|=|KE|+|EM|=\frac12|AE|+\frac12|EC|=\frac12|AC|\]

2 Długość przekątnej LN

W kwadracie E jest także środkiem BD, więc BE i DE mają po połowie długości BD. Odcinamy od BD części BL i DN.

\[|LN|=|BD|-|BL|-|DN|=|BD|-\frac16|BD|-\frac16|BD|=\frac23|BD|\]

3 Porównanie pól

Przekątne obu czworokątów leżą na prostopadłych przekątnych kwadratu. Pole każdego z nich jest równe połowie iloczynu długości jego przekątnych.

\[\frac{P_{KLMN}}{P_{ABCD}}=\frac{\frac12|KM|\cdot|LN|}{\frac12|AC|\cdot|BD|}=\frac{\frac12|AC|\cdot\frac23|BD|}{|AC|\cdot|BD|}=\frac13\]

Odpowiedź

Stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD wynosi 1:3.

\[P_{KLMN}:P_{ABCD}=1:3\]

Sprawdzenie

Dla boku kwadratu długości a obie jego przekątne mają długość a√2. Otrzymane długości KM i LN dają pole wewnętrznego czworokąta równe a²/3, a pole kwadratu wynosi a².

\[P_{KLMN}=\frac12\cdot\frac{a\sqrt2}{2}\cdot\frac{2a\sqrt2}{3}=\frac{a^2}{3},\qquad P_{ABCD}=a^2\]