Otwarte2 pkt
Funkcje
51%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+3\) w przedziale \(\langle 0,4\rangle\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie wierzchołka
Sprowadzamy funkcję do postaci kanonicznej, aby znaleźć jej minimum. Wierzchołek ma odciętą 3, która należy do danego przedziału.
\[f(x)=x^2-6x+3=(x-3)^2-6,\quad x_w=3\in[0,4]\]
2 Porównanie wartości
Ponieważ parabola jest skierowana ramionami w górę, minimum osiąga w wierzchołku. Największą wartość w przedziale domkniętym wyznaczamy przez porównanie wartości na jego końcach.
\[f(3)=-6,\quad f(0)=3,\quad f(4)=16-24+3=-5\]
Odpowiedź
Najmniejsza wartość to −6 dla x=3, a największa to 3 dla x=0.
\[\min_{x\in[0,4]}f(x)=-6,\qquad \max_{x\in[0,4]}f(x)=3\]
Sprawdzenie
Dla x od 0 do 4 wyrażenie (x−3)² przyjmuje wartości od 0 do 9. Zatem f(x) przyjmuje wartości od −6 do 3; oba krańce są osiągane w podanym przedziale.
\[0\le (x-3)^2\le 9\quad\Longrightarrow\quad -6\le f(x)\le 3\]