Zadanie 32 — matura 2015, maj | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

46%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przekątnej podstawy

Przekątna podstawy jest rzutem przekątnej graniastosłupa na podstawę. Z podanego cosinusa otrzymujemy sinus kąta równy \(\frac45\), więc przekątna podstawy ma długość 12.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45,\qquad d=\frac{16}{\sin\alpha}=20,\qquad p=d\cos\alpha=20\cdot\frac35=12\]

2 Obliczenie boku kwadratu

Podstawą jest kwadrat, którego przekątna ma długość \(a\sqrt2\).

\[a\sqrt2=12\quad\Rightarrow\quad a=6\sqrt2\]

3 Obliczenie pola całkowitego

Dodajemy pola dwóch kwadratowych podstaw i czterech ścian bocznych o wymiarach \(a\) i 16.

\[P_c=2a^2+4a\cdot16=2\left(6\sqrt2\right)^2+64\cdot6\sqrt2=144+384\sqrt2\]

Odpowiedź

Pole powierzchni całkowitej wynosi \(144+384\sqrt2\) jednostek kwadratowych.

\[P_c=144+384\sqrt2\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanego boku przekątna podstawy wynosi 12, a przekątna graniastosłupa 20. Jej cosinus kąta nachylenia do podstawy jest więc równy podanej wartości.

\[\sqrt{(6\sqrt2)^2+(6\sqrt2)^2}=12,\qquad \sqrt{12^2+16^2}=20,\qquad \cos\alpha=\frac{12}{20}=\frac35\]