Otwarte2 pkt
37%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy \(\frac{4}{7}\), a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy \(\frac{1}{2}\). Wyznacz ten ułamek.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Oznaczenie ułamka
Niech licznik i mianownik będą dodatnimi liczbami całkowitymi względnie pierwszymi.
\[\frac{a}{b},\quad a,b\in\mathbb{N}_{+},\quad \gcd(a,b)=1\]
2 Wykorzystanie pierwszego warunku
Dodajemy połowę licznika do licznika i mianownika, a następnie mnożymy równanie na krzyż. Mianownik jest dodatni.
\[\frac{a+\frac{a}{2}}{b+\frac{a}{2}}=\frac{4}{7}\quad\Longrightarrow\quad 7\cdot\frac{3a}{2}=4\left(b+\frac{a}{2}\right)\quad\Longrightarrow\quad 17a=8b\quad\Longrightarrow\quad\frac{a}{b}=\frac{8}{17}\]
3 Wyznaczenie licznika i mianownika
Liczby 8 i 17 są względnie pierwsze, więc nieskracalny ułamek ma licznik 8 i mianownik 17.
\[a=8,\qquad b=17\]
Odpowiedź
Szukany ułamek to \(\frac{8}{17}\).
\[\frac{8}{17}\]
Sprawdzenie
Po dodaniu połowy licznika otrzymujemy \(\frac{4}{7}\), a po dodaniu 1 otrzymujemy \(\frac{1}{2}\). Licznik i mianownik są dodatnie oraz względnie pierwsze.
\[\frac{8+4}{17+4}=\frac{12}{21}=\frac{4}{7},\qquad\frac{8+1}{17+1}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2},\qquad\gcd(8,17)=1\]