Zamknięte1 pkt
Trygonometria
67%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Jeżeli \(0^\circ<\alpha<90^\circ\) oraz \(\operatorname{tg}\alpha=2\sin\alpha\), to
A
\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\)
B
\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
C
\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
D
\(\cos\alpha=1\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zamiana tangensa na iloraz
Korzystamy z definicji tangensa, aby otrzymać równanie z sinusem i cosinusem.
\[\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\sin\alpha\]
2 Wyznaczenie cosinusa
Ponieważ kąt jest ostry, \(\sin\alpha>0\) i \(\cos\alpha>0\). Możemy podzielić przez sinus, a następnie pomnożyć przez cosinus.
\[\frac{1}{\cos\alpha}=2\quad\Longrightarrow\quad\cos\alpha=\frac{1}{2}\]
Odpowiedź
Odpowiedź A.
\[\cos\alpha=\frac{1}{2}\]
Sprawdzenie
Dla ostrego kąta o cosinusie równym \(\frac{1}{2}\) mamy \(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Wtedy obie strony podanego równania są równe \(\sqrt{3}\).
\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sin\alpha\]