Zadanie 34 — matura 2015, maj | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

31%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy \(a_1\), \(a_3\), \(a_k\) ciągu \((a_n)\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_n)\). Oblicz \(k\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pierwszego wyrazu i różnicy

Suma jedenastu wyrazów ciągu arytmetycznego daje pierwsze równanie. Drugie wynika z podanej średniej. Rozwiązujemy układ, aby poznać wzór ciągu.

\[\begin{aligned}S_{11}&=11(a_1+5d)=187&&\Rightarrow a_1+5d=17,\\\frac{a_1+(a_1+2d)+(a_1+8d)}{3}&=12&&\Rightarrow 3a_1+10d=36.\end{aligned}\]

2 Rozwiązanie układu

Podstawiamy \(a_1=17-5d\) do drugiego równania.

\[3(17-5d)+10d=36\Rightarrow d=3,\qquad a_1=2.\]

3 Wyznaczenie indeksu

W trzech kolejnych wyrazach ciągu geometrycznego kwadrat środkowego jest iloczynem skrajnych. Ponieważ \(a_3=8\), wyznaczamy \(a_k\), a następnie \(k\).

\[a_3=2+2\cdot3=8,\qquad a_k=2+(k-1)\cdot3=3k-1,\qquad 8^2=2(3k-1)\Rightarrow k=11.\]

Odpowiedź

k = 11.

\[k=11\]

Sprawdzenie

Dla k = 11 otrzymujemy wyrazy 2, 8, 32, które tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 4. Ponadto suma jedenastu początkowych wyrazów wynosi 187, a wskazana średnia wynosi 12.

\[\frac{8}{2}=\frac{32}{8}=4,\qquad S_{11}=11(2+5\cdot3)=187,\qquad \frac{2+8+26}{3}=12.\]