Zamknięte1 pkt
Stereometria
66%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości \(3\) i \(4\). Kąt \(\alpha\), jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy \(45^\circ\) (zobacz rysunek).
Wysokość graniastosłupa jest równa
A
\(5\)
B
\(3\sqrt{2}\)
C
\(5\sqrt{2}\)
D
\(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przekątna podstawy
Podstawa jest prostokątem, więc jej przekątną obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.
\[d=\sqrt{3^2+4^2}=5\]
2 Wysokość graniastosłupa
Rzut przekątnej graniastosłupa na podstawę ma długość \(d\). W powstałym trójkącie prostokątnym tangens kąta \(\alpha\) jest stosunkiem wysokości do \(d\).
\[\tan 45^\circ=\frac{h}{d}=\frac{h}{5},\quad 1=\frac{h}{5},\quad h=5\]
Odpowiedź
Wysokość graniastosłupa wynosi 5. Odpowiedź A.
\[h=5\]
Sprawdzenie
Dla wysokości 5 stosunek wysokości do przekątnej podstawy wynosi 1, więc kąt przekątnej graniastosłupa z podstawą ma 45°.
\[\tan\alpha=\frac{5}{\sqrt{3^2+4^2}}=1=\tan45^\circ\]